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 DISEQUAZIONI RAZIONALI FRATTE di SECONDO GRADO

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si risolvono le DISEQUAZIONI INTERE di SECONDO GRADO, cioè quelle disequazioni che NON CONTENGONO l'INCOGNITA a DENOMINATORE della FRAZIONE.

In questa lezione, invece, ci occuperemo della soluzione, sempre delle disequazioni di secondo grado, ma questa volta di quelle FRATTEo frazionarie, cioè di quelle disequazioni che contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione.

 

Qualunque sia il tipo di disequazione frazionaria essa è sempre riconducibile al RAPPORTO tra DUE POLINOMI del tipo:

Disequazioni frazionarie

 

Ovviamente, al posto del simbolo minore e maggiore, ci potranno essere i simboli minore uguale e maggiore uguale.

Per risolvere questo tipo di disequazione è necessario:

  • STUDIARE il SEGNO DEL NUMERATORE e il SEGNO DEL DENOMINATORE e il SEGNO DELLA FRAZIONE. Per fare ciò andiamo a vedere:

    • quando il numeratore è positivo;

    • quando il denominatore è positivo;

    • quando, dividendo il numeratore per il denominatore, otteniamo valori positivi e quando negativi.  

 

Vediamo come fare con un esempio concreto.

Supponiamo di dover risolvere la seguente disequazione:

 

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

 

Partiamo col cercare i valori che annullano il denominatore della frazione, in modo da stabilire il suo campo di esistenza:

x2 - 5x - 6 = 0

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

Quindi dobbiamo escludere dalle nostre soluzioni

x = -1

x = 6.

 

Risolviamo separatamente il numeratore e il denominatore.

NUMERATORE: 

x2 + 5x +4 > 0

 

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

 

Δ > 0 - si applica la regola del DICE - Poiché il segno del primo coefficiente (+1) e il segno della disequazione (>) sono CONCORDI le soluzioni sono date dai valori di x ESTERNI all'intervallo dei valori trovati. Quindi:

  -x < - 4

x > - 1.

 

DENOMINATORE: 

x2 - 5x - 6 > 0

 

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

Ovviamente il calcolo lo avremmo potuto omettere perché già fatto per cercare il campo di esistenza della frazione.

Poiché Δ > 0 - si applica la regola del DICE e dato che il segno del primo coefficiente (+1) e il segno della disequazione (>) sono CONCORDI le soluzioni sono date dai valori di x ESTERNI all'intervallo dei valori trovati. Quindi:

  x < -1

x > 6.

 

Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

 

Ricordiamo che:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;

  • la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;

  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;

  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

 

Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;

  • o

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI

mentre quando uno dei termini della divisione è positivo e l'altro è negativo il quoziente è negativo.

 

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

 

Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -4 (escluso). In questo intervallo entrambi i termini della frazione sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore fucsia, rappresenta l'intervallo compreso tra -4 (compreso) e -1(escluso). In questo intervallo uno dei termini della frazione è negativo e l'altro è positivo dunque, il loro QUOZIENTE è NEGATIVO

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -1 (escluso) e +6 (compreso). In questo intervallo uno dei termini della frazione è negativo e l'altro è positivo dunque, il loro QUOZIENTE è NEGATIVO

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso +6 (escluso) e più. In questo intervallo entrambi i termini della frazione sono positivi. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

Osserviamo che in corrispondenza del valore -1, seppure compreso in un intervallo negativo, la frazione assume valori positivi poiché nessuna delle due disequazioni in essa è verificata.

 

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono negativa la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando 

- 4 < x < -1

e

-1 < x < 6.

 

Ora controlliamo i risultati ottenuti con il campo di esistenza della disequazione che ci impone che le soluzioni trovate siano

x -1

x 6.

Tra le soluzioni trovate questi valori non sono compresi, quindi la soluzione sarà: 

- 4 < x < -1

e

-1 < x < 6.

 

 

Facciamo attenzione perché NON E' CORRETTO scrivere

- 4 < x < 6

perché -1 non è una soluzione della disequazione.

 

 

Vediamo una altro esempio:

 

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

 

Qui siamo cercando i valori della x che rendono maggiore o uguale a zero la frazione.

Partiamo col cercare i valori che annullano il denominatore della frazione, in modo da stabilire il suo campo di esistenza:

x2 - 3x -10 = 0

 

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

Il campo di esistenza della frazione è dato da

x ≠ -2

x ≠ 5.

 

Risolviamo separatamente il numeratore e il denominatore.

NUMERATORE: 

x2 - 5x + 6 0

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

Δ > 0 - si applica la regola del DICE - Poiché il segno del primo coefficiente (+1) e il segno della disequazione () sono CONCORDI le soluzioni sono date dai valori di x ESTERNI all'intervallo dei valori trovati. Quindi:

  x ≤ 2    e    x ≥ 3.

 

 

DENOMINATORE: 

x2 - 3x -10 > 0

Non c'è bisogno che risolviamo la disequazione perché sappiamo già che 

x1 = -2

x2 = 5.

 

Δ > 0 - si applica la regola del DICE - Poiché il segno del primo coefficiente (+1) e il segno della disequazione () sono CONCORDI le soluzioni sono date dai valori di x ESTERNI all'intervallo dei valori trovati. Quindi:

  x < -2    e    x > 5.

 

Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

 

La nostra disequazione avrà i seguenti segni:

 

Disequazioni razionali fratte di secondo grado

 

La parte del grafico contraddistinta dal colore marrone, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -2. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

In corrispondenza del valore -2 abbiamo posto una x ad indicare che il denominatore è uguale a zero e, dunque, la frazione non ha significato.

La parte del grafico contraddistinta dal colore fucsia, rappresenta l'intervallo compreso tra -2 e +2. In questo intervallo un termine della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi, il loro QUOZIENTE è NEGATIVO.

In corrispondenza del valore +2 abbiamo posto uno 0 ad indicare che il numeratore è uguale a zero e, dunque, la frazione si annulla.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra +2 e +3. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

In corrispondenza del valore +3 abbiamo posto uno 0 ad indicare che il numeratore è uguale a zero e, dunque, la frazione si annulla.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra +3 e +5. In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

In corrispondenza del valore 5 abbiamo posto una x ad indicare che il denominatore è uguale a zero e, dunque, la frazione non ha significato.

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +5 e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

 

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva o che annullano la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando 

 x > 2

   2 ≤ x ≤ 3

x > 5.

 

Lezione precedente

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