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Come si risolvono le DISEQUAZIONI INTERE di SECONDO GRADO

 

Per comprendere  

 

Innanzitutto ricordiamo quanto abbiamo detto parlando del segno delle equazioni di secondo grado, ovvero che si dice che il VALORE DELLA VARIABILE è ESTERNO ALL'INTERVALLO DELLE RADICI, quando esso è MINORE della RADICE MINORE o MAGGIORE della RADICE MAGGIORE.

Esempio:

siano x1 e x2 le RADICI del trinomio con

x1 < x2

mentre chiamiamo con x il valore considerato della variabile.

 

Diremo che il valore considerato della variabile è ESTERNO all'intervallo delle radici se:

x < x1 

x > x2.

 

Mentre si dice che il VALORE DELLA VARIABILE è INTERNO ALL'INTERVALLO DELLE RADICI, quando esso è COMPRESO tra la RADICE MINORE e la RADICE MAGGIORE.

Esempio:

siano x1 e x2 le RADICI del trinomio con

x1 < x2

mentre chiamiamo con x il valore considerato della variabile.

 

Diremo che il valore considerato della variabile è INTERNO all'intervallo delle radici se:

x1 <x < x2.

 

 

Fatte queste premesse possiamo dire che per RISOLVERE una DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO occorre per prima cosa trovare le sue RADICI.

Sappiamo, sempre dallo studio delle equazioni di secondo grado, che il NUMERO DELLE RADICI dipende dal valore del DISCRIMINANTE dell'equazione.

 

Trovate le radici possiamo distinguere tre casi:

  1. Δ > 0 - Il  TRINOMIO di SECONDO GRADO ha 2 RADICI DISTINTE.

 Il trinomio:

  • si ANNULLA quando la VARIABILE ha il VALORE di una di quelle RADICI;

 

  • assume VALORI di SEGNO CONTRARIO a quello del suo PRIMO COEFFICIENTE  quando la variabile assume valori INTERNI all'intervallo delle RADICI;

 

  • assume VALORI di SEGNO UGUALE a quello del suo PRIMO COEFFICIENTE  quando la variabile assume valori ESTERNI rispetto alle RADICI.

 

Per ricordarsi questa regola si è soliti chiamarla REGOLA del DICE dove DICE è la sigla di

D - DISCORDI

I - INTERNI

C - CONCORDI

E - ESTERNI

 

Esempio:

3x2 -10x +3 > 0

le radici sono

x1 = 1/3

x2 = 3.

 

Quindi:

  • il trinomio si annulla per 

x = 1/3 e x =3;

  • il trinomio assume valori negativi per 

    1/3 <x< 3

    in quanto il primo coefficiente è positivo (3) e per la regola del DICE quando la x ha valori interni all'intervallo delle radici il segno del trinomio è opposto al segno del primo coefficiente;

     

  • il trinomio assume valori positivi per 

    x < 1/3 e x > 3

    in quanto il primo coefficiente è positivo (3) e per la regola del DICE quando la x ha valori esterni all'intervallo delle radici il segno del trinomio è lo stesso del primo coefficiente.

Ora noi dobbiamo cercare i valori di x che rendono positivo (cioè maggiore di zero) il trinomio, quindi la soluzione sarà:

x < 1/3 e x > 3.

 

  1. Δ = 0 - il TRINOMIO di SECONDO GRADO ha 1 RADICE soltanto.

  • si ANNULLA quando la VARIABILE ha il VALORE dell'unica RADICE;

 

  • assume VALORI di SEGNO UGUALE a quello del suo PRIMO COEFFICIENTE  per OGNI ALTRO VALORE della variabile.

 

Esempio:

9x2 +12x +4 < 0

la radice è 

x1 = x2 = 2/3.

 

Quindi:

  • il trinomio si annulla per 

x = 2/3;

  • il trinomio assume valori negativi per 

    x ≠ 2/3

    in quanto il primo coefficiente è positivo (3) e il trinomio è sempre positivo per ogni valore di x diverso dalla radice.

Ora noi dobbiamo cercare i valori di x che rendono negativo (cioè minore di zero) il trinomio, quindi la soluzione sarà:

x ≠ 2/3.

 

  1. Δ < 0 -  il TRINOMIO di SECONDO GRADO NON HA radici esso:

  • assume il SEGNO del suo PRIMO COEFFICIENTE  per QUALUNQUE VALORE della variabile.

 

Esempio:

x2 +3x +4 > 0

il trinomio non ha radici..

 

Quindi:

  • il trinomio assume valori positivi per qualunque valore della x in quanto il primo coefficiente è positivo (1) e il trinomio è sempre positivo per ogni valore di x. 

Ora noi dobbiamo cercare i valori di x che rendono positivo (cioè maggiore di zero) il trinomio, quindi la soluzione qualunque valore di x.

 

Ricapitolando:

DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c > 0

Δ > 0  Il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore di una delle radici.

Negli altri casi vale la regola del  DICE.

 

Δ = 0  Il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore della radice.

Negli altri casi il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE.

 

Δ < 0  Il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE  per QUALUNQUE VALORE.

 

Nella prossima lezione ci soffermeremo ad esaminare altri esempi di risoluzione di disequazioni razionali intere di secondo grado.

 

 

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