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RISOLUZIONE di DISEQUAZIONI INTERE di SECONDO GRADO

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo appreso quali sono le regole da applicare per risolvere una DISEQUAZIONE INTERA di SECONDO GRADO. Ora vediamo alcuni ulteriori esempi.

 

Esempio 1:

-6x2 +17x -5 < 0.

La disequazione è già ridotta a forma normale. Troviamo le sue radici applicando la formula risolutiva:

Disequazioni di secondo grado

 

Le radici del trinomio di secondo grado sono:

x1 =  1/3;         x2 =  5/2.

 

Il DISCRIMINANTE è MAGGIORE DI ZERO, quindi applichiamo la regola del DICE:

confrontiamo il primo coefficiente (-6) con il segno della disequazione (<). I segni sono CONCORDI, quindi la soluzione della disequazione è data dai valori ESTERNI all'intervallo trovato. Pertanto la soluzione cercata è:

x < 1/3      x > 5/2.

 

 

Esempio 2:

-x2 +4x +21 > 0.

La disequazione è già ridotta a forma normale. Troviamo le sue radici applicando la formula risolutiva:

Disequazioni di secondo grado

Le radici del trinomio di secondo grado sono:

x1 = -3;         x2 =  7.

Il DISCRIMINANTE è MAGGIORE DI ZERO, quindi applichiamo la regola del DICE:

confrontiamo il primo coefficiente (-1) con il segno della disequazione (>). I segni sono DISCORDI, quindi la soluzione della disequazione è data dai valori INTERNI all'intervallo trovato. Pertanto la soluzione cercata è:

-3 < x < 7.

 

 

Esempio 3:

x2 -6x +10 > 0.

Troviamo le radici del trinomio di secondo grado applicando la formula risolutiva:

Disequazioni di secondo grado

 

Il DISCRIMINANTE è MINORE DI ZERO, quindi il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE  (+1) per QUALUNQUE VALORE di x.

Poiché noi stiamo cercando i valori di x che rendono positivo (> 0) il trinomio possiamo dire che la disequazione è verificata per qualsiasi valore di x

 

 

Esempio 4:

4x2 +2x +5 < 0.

Troviamo le radici del trinomio di secondo grado applicando la formula risolutiva:

Disequazioni di secondo grado

 

Il DISCRIMINANTE è MINORE DI ZERO, quindi il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE  (+4) per QUALUNQUE VALORE di x.

Poiché noi stiamo cercando i valori di x che rendono negativo (< 0) il trinomio possiamo dire che la disequazione non è mai verificata. 

 

Esempio 5:

x2 -8x +16 > 0.

Troviamo le radici del trinomio di secondo grado applicando la formula risolutiva:

Disequazioni di secondo grado

 

Il DISCRIMINANTE è UGUALE a ZERO, quindi il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore +4. Negli altri casi il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE (+1).

Poiché noi stiamo cercando i valori di x che rendono positivo (> 0) il trinomio possiamo dire che la disequazione è verificata per qualsiasi valore diverso da 4:

x ≠ 4.

 

Esempio 6:

x2 +2x +2 < 0.

Troviamo le radici del trinomio applicando la formula risolutiva:

Disequazioni di secondo grado

 

Il DISCRIMINANTE è UGUALE a ZERO, quindi il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore -1. Negli altri casi il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE (+1).

Poiché noi stiamo cercando i valori di x che rendono negativo (< 0) il trinomio possiamo dire che la disequazione è non è mai verificata per qualsiasi valore assunto da x.

 

Esempio 7:

4x2 -7 < 2x2 + 25.

Riduciamo la DISEQUAZIONE A FORMA NORMALE portando tutti i termini a primo membro e sommando tra loro i termini simili:

4x2 -2x2 -7 -25 < 0

4x2 -2x2 -7 -25 < 0

2x2 - 32< 0.

A primo membro ci troviamo di fronte ad un'equazione pura. Portiamo 32 a secondo membro e cambiamo di segno:

2x2 < +32

Dividiamo per 2 il primo e il secondo membro:

x2 < 16.

Estraiamo la radice a primo e secondo membro e abbiamo:

Disequazioni di secondo grado

Da cui:

x1 =  -4;         x2 =  +4.

 

Abbiamo due soluzioni. Quindi applichiamo la regola del DICE:

confrontiamo il primo coefficiente (+1) con il segno della disequazione (<). I segni sono DISCORDI, quindi la soluzione della disequazione è data dai valori INTERNI all'intervallo trovato, quindi:

-4 <x< +4.

 

 

 

La risoluzione di una DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO SPURIA è riconducibile alla risoluzione delle disequazioni di primo grado come abbiamo visto nella undicesima lezione dedicata alle disequazioni lineari.

 

 

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