QUOZIENTE DI RADICALI
- Radicali di indice n
- Radicali con indice dispari
- Condizione di esistenza dei radicali
- Potenze con esponente frazionario
- Operazioni con i radicali
- Frazioni particolari
- L'insieme dei numeri naturali
- Simboli usati per l'insieme dei numeri naturali
- L'insieme dei numeri reali
- Simboli usati per l'insieme dei numeri reali
Esaminiamo ora il QUOZIENTE DI RADICALI.
Dati due radicali, aventi lo STESSO INDICE n, con n appartenente ai numeri NATURALI e DIVERSO DA ZERO, il loro QUOZIENTE è un RADICALE che ha:
- per indice lo STESSO INDICE dei radicali dati;
- per radicando il QUOZIENTE dei RADICANDI dati.
In questo caso dobbiamo porre la condizione che:
-
se
n è PARI:
- a deve essere MAGGIORE o UGUALE a ZERO;
- b deve essere MAGGIORE di ZERO. ATTENZIONE!!! In questo caso b non può essere uguale a zero perché la divisione non avrebbe nessun significato;
-
se
n è DISPARI:
- a deve appartenere ai REALI;
- b deve appartenere ai REALI ed essere DIVERSO DA ZERO sempre perché se fosse uguale a zero la divisione non avrebbe significato.
In altre parole:
che si legge
radice ennesima di a diviso radice ennesima di b
è uguale
alla radice ennesima di a diviso b
con
n appartenente ad enne asterisco (ovvero l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero)
e,
se n è pari con a maggiore o uguale a zero e b maggiore di zero
se n è dispari con a appartenente ai reali e b appartenente ad erre asterisco (ovvero l'insieme dei numeri reali escluso lo zero).
Ovviamente, tale regola, può essere scritta anche nel modo che segue:
Dimostriamo la regola che abbiamo appena enunciato.
Sappiamo che un radicale può essere scritto anche come potenza con esponente frazionario, quindi:
Applicando le proprietà delle potenze possiamo scrivere:
Ma, sempre ricorrendo alle potenze con esponente frazionario, possiamo scrivere:
Quindi possiamo dire che:
Facciamo alcuni esempi.
Indice pari: è necessario che a sia maggiore o uguale a zero e b sia diverso da zero.
Indice dispari: è sufficiente che a appartenga ai reali e b sia un numero reale diverso da zero.
che avremmo potuto risolvere anche così:
La regola appena vista presuppone che i radicali da dividere abbiamo lo STESSO INDICE. quindi, se debbiamo dividere tra loro radicali con INDICE DIVERSO, è necessario dapprima RIDURRE I RADICALI allo STESSO INDICE e successivamente procedere come abbiamo appena visto.
Ovviamente, per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza, possiamo anche scrivere che:
sempre facendo attenzione alle condizioni di esistenza sopra viste.
Esempio:
