RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Può accadere, quando si risolvono delle espressioni, di trovarsi di fronte a delle FRAZIONI al cui DENOMINATORE compaiono dei RADICALI.



Esempio:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



In questo caso, per semplificare i calcoli, è opportuno TRASFORMARE la frazione data in una FRAZIONE EQUIVALENTE priva di radicali al denominatore.

Questa operazione prende il nome di RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE di una frazione.

Come bisogna procedere?

Si tratta di MOLTIPLICARE NUMERATORE e DENOMINATORE della frazione per uno STESSO FATTORE, scelto opportunamente, in modo da consentirci di eliminare il radicale presente al denominatore.

Per la PROPRIETA' INVARIANTIVA delle frazioni, così facendo, trasformiamo la frazione data in una frazione equivalente.

Il fattore per il quale moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione prende il nome di FATTORE RAZIONALIZZANTE.

Di seguito vedremo alcuni esempi per capire come scegliere il fattore razionalizzante.





1° CASO: frazione con, a denominatore, un RADICALE QUADRATICO

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



In questo caso il FATTORE RAZIONALIZZANTE è il DENOMINATORE della frazione. Infatti, se moltiplichiamo numeratore e denominatore per la radice quadrata di a e, successivamente, applichiamo la prima proprietà fondamentale dei radicali, avremo:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

Abbiamo così ottenuto una frazione equivalente a quella data che non ha nessun radicale a denominatore.



Esempi:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione





2° CASO: frazione con, a denominatore, un RADICALE DI INDICE n

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



Ora ipotizziamo che

m < n

In questo caso il FATTORE RAZIONALIZZANTE è

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

Infatti:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



Esempi:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



Se, invece

m > n

bisogna PORTARE FUORI il fattore a con un adeguato esponente e successivamente procedere alla razionalizzazione.

Razionalizzazione del denominatore di una frazione





3° CASO: frazione con, a denominatore, la SOMMA ALGEBRICA di DUE RADICALI QUADRATICI

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



In questo caso il FATTORE RAZIONALIZZANTE è

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

Infatti:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



A denominatore applichiamo la regola della somma di due monomi per la loro differenza e, successivamente, la prima proprietà fondamentale dei radicali e avremo:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



Esempio:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



Se, invece:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



In questo caso il FATTORE RAZIONALIZZANTE è

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



Omettiamo la dimostrazione che è del tutto simile a quella vista in precedenza.





4° CASO: frazione con, a denominatore, la SOMMA ALGEBRICA di un RADICALE QUADRATICO e un NUMERO RAZIONALE



Razionalizzazione del denominatore di una frazione



In questo caso il FATTORE RAZIONALIZZANTE è

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

In altre parole, in maniera simile a quanto visto nel caso precedente:

  • se a denominatore della frazione c'è una SOMMA il fattore razionalizzante è una DIFFERENZA;

  • se a denominatore della frazione c'è una DIFFERENZA il fattore razionalizzante è una SOMMA.


Dimostriamo, quanto abbiamo detto, considerando l'ipotesi che a denominatore vi sia la somma di un radicale quadratico e di un numero razionale. Ovviamente, la dimostrazione sarà analoga per il caso della differenza.

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



Esempio:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



Ovviamente, la regola vale anche se la frazione si presenta nel modo seguente:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione



Chiaramente, in questo caso il FATTORE RAZIONALIZZANTE sarà

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

 
 
 
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