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POTENZA di un RADICALE

 



Per comprendere  

 

La POTENZA m-esima (che si legge emmesima) di un RADICALE è un radicale che ha:

  • per indice lo STESSO INDICE;

  • per radicando la POTENZA m-esima del radicando dato.

 

In altre parole:

Potenza di un radicale

 

Ovviamente dobbiamo sempre tenere conto delle condizioni di esistenza dei radicali. Quindi scriveremo:

Potenza di un radicale

che si legge

la radice ennesima di a, elevata ad m 

è uguale

alla radice ennesima di a elevata ad m

con

m ed n appartenenti ad enne asterisco (ovvero l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero) e

se n è pari, a maggiore o uguale a zero 

se n è dispari a appartenente ai reali.

 

 

Vogliamo ora dimostrare quanto abbiamo appena detto. Dallo studio delle potenze con esponente frazionario sappiamo che:

 

Potenza di un radicale

 

 

Ora eleviamo ad m entrambi i membri:

Potenza di un radicale

 

 

A secondo membro ci troviamo di fronte ad una potenza di potenza. Quindi possiamo scrivere:

 

 

Potenza di un radicale

 

 

Ma sempre per quanto abbiamo appreso studiando le potenze con esponente frazionario, sappiamo che:

 

Potenza di un radicale

 

 

Abbiamo, quindi, dimostrato che:

 

Potenza di un radicale

 

 

Vediamo alcuni esempi:

Potenza di un radicale

In questo caso l'indice del radicale è dispari: possiamo tranquillamente procedere ad applicare la formula appena vista. Avremo:

Potenza di un radicale

 

 

Secondo esempio:

Potenza di un radicale

 

In questo caso l'indice del radicale è pari. Il radicando 7 è positivo,  quindi possiamo passare ad applicare la formula:

Potenza di un radicale

 

 

Concludiamo con un ultimo esempio:

Potenza di un radicale

 

In questo caso l'indice è dispari e il radicando è negativo. Ricordando che nel caso di radicali con indice dispari e con radicando negativo è possibile portare il segno meno fuori dalla radice senza che il risultato cambi, possiamo risolvere questo caso in due modi diversi:

Potenza di un radicale

oppure

Potenza di un radicale

Osserviamo che, nel secondo caso, abbiamo portato il segno meno fuori dal simbolo di radice ma, poiché successivamente abbiamo elevato al quadrato, il valore che otteniamo è positivo.

 

 

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