QUADRILATERI INSCRITTI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo affermato che un triangolo si può sempre inscrivere in una circonferenza.

Ora chiediamoci: "E i QUADRILATERI sono sempre inscrivibili?".

Consideriamo il QUADRILATERO A, B, C, D INSCRITTO:

Quadrilatero inscritto



Ora andiamo a disegnare l'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA Alfa (scritto Angolo Alfa):

Quadrilatero inscritto



Ricordiamo che si chiama ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA un angolo che ha:

  • il VERTICE SULLA CIRCONFERENZA;
  • e i cui LATI sono:
    • o ENTRAMBI SECANTI alla circonferenza
    • oppure uno SECANTE e l'altro TANGENTE alla circonferenza.

Ora andiamo a disegnare il corrispondente ANGOLO AL CENTRO Alfa primo (scritto Angolo Alfa Primo ):

Quadrilatero inscritto



Ricordiamo che si chiama ANGOLO AL CENTRO di una circonferenza ogni ANGOLO avente il VERTICE COINCIDENTE con il CENTRO DELLA CIRCONFERENZA.



Dallo studio della circonferenza abbiamo appreso che

L'angolo Alfa Primo è uguale a due volte l'Angolo Alfa

ovvero che

l'angolo Alfa Primo è il doppio dell'Angolo Alfa.



Ora osserviamo l'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA Beta (scritto Angolo Beta) e il corrispondente ANGOLO AL CENTRO Beta Primo (scritto Angolo Beta Primo ).

Quadrilatero inscritto

Anche in questo caso avremo:

L'angolo Beta Primo è uguale a due volte l'Angolo Beta

ovvero che

l'angolo Beta Primo è il doppio dell'Angolo Beta.



Ma se

Alfa Primo uguale due volte Alfa

e

Beta Primo uguale due volte Beta

possiamo scrivere che

Alfa Primo + Beta Primo = 2 volte la somma di Alfa + Beta



Osservando l'immagine sopra è evidente che la somma di Alfa Primo e Beta Primo è un ANGOLO GIRO, ovvero un angolo di 360°.

Quindi:

Quadrilateri inscritti

Dividendo entrambi i membri per 2, avremo:

Quadrilateri inscritti

Quindi possiamo dire che:

Quadrilateri inscritti



La stessa osservazione può essere fatta esaminando gli altri due angoli opposti aventi vertice in B e D.

Possiamo allora affermare che, un QUADRILATERO può essere INSCRITTO in una circonferenza se gli ANGOLI OPPOSTI sono SUPPLEMENTARI, cioè la loro somma è pari a 180°. In questo caso, dato che il quadrilatero è inscrittibile, significa che esiste un SOLO CIRCOCENTRO.

Quindi, tornando alla domanda iniziale possiamo dire che non tutti i quadrilateri sono inscrittibili. Nella prossima lezione vedremo meglio quali quadrilateri lo sono.

 
 
 
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