INTERSEZIONE DELLA PARABOLA CON LA RETTA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione vogliamo capire come è possibile stabilire se una PARABOLA e una RETTA si intersecano e, in caso affermativo, in quale punto.

Ricordiamo che l'equazione della parabola è la seguente:

y= ax2 + bx + c.



Mentre l'equazione della retta è:

y = mx + n.

Punto di intersezione tra retta e parabola



Nell'immagine sopra la parabola e la retta si intersecano nel punto P (x; y).

Per trovare il punto di intersezione tra parabola e retta è sufficiente risolvere il SISTEMA

Punto di intersezione tra retta e parabola



Per risolvere il sistema applichiamo il metodo del confronto e scriviamo:

ax2 + bx + c = mx + n.



Ora si tratterà di risolvere nei modi consueti.



Esempio:

vogliamo trovare, se esiste, il punto di intersezione tra la parabola

y= 2x2 + x + 2.

e la retta:

y = 4x + 1.



Per trovare il punto di intersezione tra retta e parabola è sufficiente risolvere il SISTEMA

Punto di intersezione tra retta e parabola

Per risolvere il sistema applichiamo il metodo del confronto e scriviamo:

2x2 + x + 2 = 4x + 1.

Risolviamo:

2x2 + x + 2 - 4x - 1 = 0

2x2 - 3x + 1 = 0

Punto di intersezione tra retta e parabola

da cui ricaviamo

x1 = (3 - 1)/ 4 = 1/2

x2 = (3 + 1)/ 4 = 1.



Ora, quando

x = 1/2

y = 4 (1/2) + 1 = 2 + 1 = 3.



Mentre quando

x = 1

y = 4 + 1 = 5.



Questo significa che la retta e la parabola si intersecano in due punti:

A (1/2; 3)

B ( 1; 5).



In generale si potranno avere tre situazioni diverse:

  1. la parabola e la retta NON HANNO NESSUN PUNTO DI INTERSEZIONE.

    Retta e parabola non si intesecano

    Ciò si verifica quando, posto

    ax2 + bx + c = mx + n

    abbiamo

    Δ < 0.

    In questo caso la retta si dice ESTERNA alla parabola;



  2. la parabola e la retta HANNO DUE PUNTI DI INTERSEZIONE.

    Retta e parabola hanno due punti di intersezione

    Ciò si verifica quando

    Δ > 0.

    In questo caso la retta si dice SECANTE la parabola;



  3. la parabola e la retta HANNO UN PUNTO DI INTERSEZIONE.

    Retta e parabola non si intesecano

    Ciò si verifica quando

    Δ = 0.

    In questo caso la RETTA si dice TANGENTE la parabola e il punto P, di intersezione, si dice PUNTO DI TANGENZA.


 
 
 
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