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EQUAZIONE della PARABOLA

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto che

y = ax2 + bx + c

 

è l'equazione di una PARABOLA con ASSE DI SIMMETRIA PARALLELO all'ASSE delle y.

 

Il VERTICE di tale parabola ha come coordinate:

V ( -b/2a ; -Δ/ 4a).

 

L'ASSE DI SIMMETRIA della parabola è la retta di equazione:

x = -b/2a.

 

Vediamo ora come si definisce la parabola. 

La PARABOLA è il luogo geometrico dei PUNTI del piano EQUIDISTANTI da un PUNTO FISSO detto FUOCO e da una RETTA FISSA della DIRETTRICE.

 

Il FUOCO:

  • NON APPARTIENE mai alla parabola;

  • NON E' mai ESTERNO alla parabola.

 

Supponiamo che il fuoco abbia coordinate:

F (p ; q).

 

La direttrice abbiamo ipotizzato che abbia equazione:

y = d.

 

Poiché, per definizione, ogni punto P (x; y) della parabola è equidistante dal fuoco e dalla direttrice, possiamo scrivere che:

Equazione della parabola: dimostrazione

 

Applicando le formule della distanza tra due punti possiamo scrivere:

Equazione della parabola: dimostrazione

 

Eleviamo primo e secondo membro al quadrato ed otteniamo:

(x - p)2 + (y - q)2 = (y - d)2.

Sviluppiamo i quadrati:

x2 + p2 -2px + y2 + q2 - 2qy = y2 + d2 - 2dy.

 

Togliamo, a primo e secondo membro, y2:

x2 + p2 -2px + y2 + q2 - 2qy = y2 + d2 - 2dy

x2 + p2 -2px + q2 - 2qy =  d2 - 2dy.

 

Portiamo, a primo membro, tutti i termini contenenti la y, cambiando di segno e portiamo a secondo membro tutti gli altri termini, cambiando di segno:

x2 + p2 -2px + q2 - 2qy =  d2 - 2dy

- 2qy + 2dy =  d2 - x2 - p2 +2px - q2.

 

Moltiplichiamo, entrambi i termini, per -1:

+ 2qy - 2dy =  - d2 + x2 + p2 - 2px + q2.

 

A primo membro mettiamo in evidenza 2y:

2y (q - d) =  - d2 + x2 + p2 - 2px + q2.

 

A secondo membro raccogliamo insieme i termini noti (cioè quelli che non contengono la x):

2y (q - d) =   x2 - 2px + (q2 - d2 + p2).

 

Dividiamo entrambi i membri per 2(q - d):

Equazione della parabola: dimostrazione

 

Da cui ricaviamo che:

Equazione della parabola: dimostrazione

 

Equazione della parabola: dimostrazione

 

E poniamo:

Equazione della parabola: dimostrazione

 

Avremo:

y = ax2 + bx + c.

 

Abbiamo così ottenuto l'EQUAZIONE DELLA PARABOLA.

Nella prossima lezione esamineremo meglio fuoco e direttrice.

 

 

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