EQUAZIONE DELLA PARABOLA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto che

y = ax2 + bx + c

è l'equazione di una PARABOLA con ASSE DI SIMMETRIA PARALLELO all'ASSE delle y.



Il VERTICE di tale parabola ha come coordinate:

V ( -b/2a ; -Δ/ 4a).



L'ASSE DI SIMMETRIA della parabola è la retta di equazione:

x = -b/2a.



Vediamo ora come si definisce la parabola.

La PARABOLA è il luogo geometrico dei PUNTI del piano EQUIDISTANTI da un PUNTO FISSO detto FUOCO e da una RETTA FISSA della DIRETTRICE.



Parabola

Il FUOCO:

  • NON APPARTIENE mai alla parabola;
  • NON E' mai ESTERNO alla parabola.

Supponiamo che il fuoco abbia coordinate:

F (p ; q).



La direttrice abbiamo ipotizzato che abbia equazione:

y = d.



Poiché, per definizione, ogni punto P (x; y) della parabola è equidistante dal fuoco e dalla direttrice, possiamo scrivere che:

Equazione della parabola: dimostrazione



Applicando le formule della distanza tra due punti possiamo scrivere:

Equazione della parabola: dimostrazione



Eleviamo primo e secondo membro al quadrato ed otteniamo:

(x - p)2 + (y - q)2 = (y - d)2.

Sviluppiamo i quadrati:

x2 + p2 -2px + y2 + q2 - 2qy = y2 + d2 - 2dy.



Togliamo, a primo e secondo membro, y2:

x2 + p2 -2px + y2 + q2 - 2qy = y2 + d2 - 2dy

x2 + p2 -2px + q2 - 2qy = d2 - 2dy.



Portiamo, a primo membro, tutti i termini contenenti la y, cambiando di segno e portiamo a secondo membro tutti gli altri termini, cambiando di segno:

x2 + p2 -2px + q2 - 2qy = d2 - 2dy

- 2qy + 2dy = d2 - x2 - p2 +2px - q2.



Moltiplichiamo, entrambi i termini, per -1:

+ 2qy - 2dy = - d2 + x2 + p2 - 2px + q2.



A primo membro mettiamo in evidenza 2y:

2y (q - d) = - d2 + x2 + p2 - 2px + q2.



A secondo membro raccogliamo insieme i termini noti (cioè quelli che non contengono la x):

2y (q - d) = x2 - 2px + (q2 - d2 + p2).



Dividiamo entrambi i membri per 2(q - d):

Equazione della parabola: dimostrazione

Da cui ricaviamo che:

Equazione della parabola: dimostrazione

Equazione della parabola: dimostrazione

E poniamo:

Equazione della parabola: dimostrazione

Avremo:

y = ax2 + bx + c.



Abbiamo così ottenuto l'EQUAZIONE DELLA PARABOLA.

Nella prossima lezione esamineremo meglio fuoco e direttrice.

 
 
 
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