EQUAZIONE DELLA PARABOLA: ESERCIZI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nelle due lezioni precedenti abbiamo visto come è possibile trovare l'equazione della parabola conoscendo le coordinate di tre punti per i quali passa la parabola o conoscendo il vertice della parabola ed un punto per il quale essa passa.

In entrambi i casi abbiamo risolto un sistema di tre equazioni in tre incognite che ci permettono di trovare a, b, c dell'equazione della retta

y= ax2 + bx + c.



In modo del tutto simile si procede quando, in un problema, ci viene chiesto di scrivere l'equazione di una parabola sapendo le coordinate del vertice e l'equazione della direttrice, oppure le coordinate del vertice e del fuoco, o ancora le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice, o le coordinate del fuoco e quelle di un punto per il quale passa la parabola, e così via.



In tutti questi casi occorre impostare un SISTEMA di TRE EQUAZIONI in TRE INCOGNITE. Le incognite sono a, b, c.

Vediamo come stabilire quali equazioni porre a sistema.



1° CASO.

Sono note le coordinate del VERTICE e l'equazione della DIRETTRICE della parabola.

Esempio:

V (1; 5)

direttrice y = 2.



Noi sappiamo che l'ascissa del vertice è uguale a:

-b/2a.



Nel nostro caso essa è uguale a 1.



Quindi possiamo scrivere:

-b/2a = 1.



L'ordinata del vertice è uguale a:

- (b2 - 4ac) /4a.



Nel nostro caso essa è uguale a 5.

Quindi possiamo scrivere:

(- b2 + 4ac) /4a = 5.



Sappiamo anche che la direttrice è uguale a

y = -(1 + b2 - 4ac) /4a.



Nel nostro caso

y = 2.



Quindi possiamo scrivere:

2 = (- 1 - b2 + 4ac) /4a.



Le tre equazioni da mettere a sistema, sono quindi:

-b/2a = 1

(- b2 + 4ac) /4a = 5

2 = (- 1 - b2 + 4ac) /4a.





2° CASO.

Sono note le coordinate del VERTICE e le coordinate del FUOCO della parabola.

Esempio:

V (0; 1)

F (0; 0).



Noi sappiamo che l'ascissa del vertice è uguale a:

-b/2a.



Nel nostro caso essa è uguale a 0.



Quindi possiamo scrivere:

-b/2a = 0.



L'ordinata del vertice è uguale a:

- (b2 - 4ac) /4a.



Nel nostro caso essa è uguale a 1.



Quindi possiamo scrivere:

(- b2 + 4ac) /4a = 1.



Sappiamo anche che l'ordinata del fuoco è:

(1 - b2 + 4ac)/ 4a.



Nel nostro caso essa è 0, quindi possiamo scrivere:

(1 - b2 + 4ac)/ 4a = 0.



Le tre equazioni da mettere a sistema, sono quindi:

-b/2a = 1

(- b2 + 4ac) /4a = 1

(1 - b2 + 4ac)/ 4a = 0.



Osserviamo che, abbiamo dovuto prendere necessariamente la formula dell'ordinata del fuoco e non quella dell'ascisse, perché l'ascisse del fuoco e quella del vertice sono la stessa e dunque non avremmo avuto tre equazioni distinte.





3° CASO.

Sono note le coordinate del FUOCO e l'equazione della DIRETTRICE della parabola.

Esempio:

F (0; -1)

direttrice y = 3.



Noi sappiamo che l'ascissa del fuoco è uguale a:

-b/2a.



Nel nostro caso essa è uguale a 0.



Quindi possiamo scrivere:

-b/2a = 0.



L'ordinata del fuoco è uguale a:

(1 - b2 + 4ac) /4a.



Nel nostro caso essa è uguale a -1.



Quindi possiamo scrivere:

(1 - b2 + 4ac) /4a = -1.



Sappiamo anche che l'equazione della direttrice è:

y = - (1 + b2 - 4ac)/ 4a.



Nel nostro caso possiamo scrivere:

3 = - (1 + b2 - 4ac)/ 4a.



Le tre equazioni da mettere a sistema, sono quindi:

-b/2a = 0

(1 - b2 + 4ac) /4a = -1

3 = - (1 + b2 - 4ac)/ 4a.





4° CASO.

Sono note le coordinate del FUOCO e le coordinate di un PUNTO della parabola.

Esempio:

F (0; -1)

P (2; -3).



Noi sappiamo che l'ascissa del fuoco è uguale a:

-b/2a.



Nel nostro caso essa è uguale a 0.



Quindi possiamo scrivere:

-b/2a = 0.



L'ordinata del fuoco è uguale a:

(1 - b2 + 4ac) /4a.



Nel nostro caso essa è uguale a -1.



Quindi possiamo scrivere:

(1 - b2 + 4ac) /4a = -1.



Sappiamo anche che la parabola passa per il punto P. In tale punto essa assume i seguenti valori:

-3= 4a + 2b + c.



Le tre equazioni da mettere a sistema, sono quindi:

-b/2a = 0

(1 - b2 + 4ac) /4a = -1

-3= 4a + 2b + c.

 
Esercizi su questo argomento:
 
 
 
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