EQUAZIONE DELLA PARABOLA: ESERCIZI
- Equazione della parabola
- Equazione della parabola passante per tre punti
- Equazione della parabola passante per un punto dato e il vertice
- Fuoco e direttrice della parabola
- Sistemi di equazioni
Nelle due lezioni precedenti abbiamo visto come è possibile trovare l'equazione della parabola conoscendo le coordinate di tre punti per i quali passa la parabola o conoscendo il vertice della parabola ed un punto per il quale essa passa.
In entrambi i casi abbiamo risolto un sistema di tre equazioni in tre incognite che ci permettono di trovare a, b, c dell'equazione della retta
y= ax2 + bx + c.
In modo del tutto simile si procede quando, in un problema, ci viene chiesto di scrivere l'equazione di una parabola sapendo le coordinate del vertice e l'equazione della direttrice, oppure le coordinate del vertice e del fuoco, o ancora le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice, o le coordinate del fuoco e quelle di un punto per il quale passa la parabola, e così via.
In tutti questi casi occorre impostare un SISTEMA di TRE EQUAZIONI in TRE INCOGNITE. Le incognite sono a, b, c.
Vediamo come stabilire quali equazioni porre a sistema.
1° CASO.
Sono note le coordinate del VERTICE e l'equazione della DIRETTRICE della parabola.
Esempio:
V (1; 5)
direttrice y = 2.
Noi sappiamo che l'ascissa del vertice è uguale a:
-b/2a.
Nel nostro caso essa è uguale a 1.
Quindi possiamo scrivere:
-b/2a = 1.
L'ordinata del vertice è uguale a:
- (b2 - 4ac) /4a.
Nel nostro caso essa è uguale a 5.
Quindi possiamo scrivere:
(- b2 + 4ac) /4a = 5.
Sappiamo anche che la direttrice è uguale a
y = -(1 + b2 - 4ac) /4a.
Nel nostro caso
y = 2.
Quindi possiamo scrivere:
2 = (- 1 - b2 + 4ac) /4a.
Le tre equazioni da mettere a sistema, sono quindi:
-b/2a = 1
(- b2 + 4ac) /4a = 5
2 = (- 1 - b2 + 4ac) /4a.
2° CASO.
Sono note le coordinate del VERTICE e le coordinate del FUOCO della parabola.
Esempio:
V (0; 1)
F (0; 0).
Noi sappiamo che l'ascissa del vertice è uguale a:
-b/2a.
Nel nostro caso essa è uguale a 0.
Quindi possiamo scrivere:
-b/2a = 0.
L'ordinata del vertice è uguale a:
- (b2 - 4ac) /4a.
Nel nostro caso essa è uguale a 1.
Quindi possiamo scrivere:
(- b2 + 4ac) /4a = 1.
Sappiamo anche che l'ordinata del fuoco è:
(1 - b2 + 4ac)/ 4a.
Nel nostro caso essa è 0, quindi possiamo scrivere:
(1 - b2 + 4ac)/ 4a = 0.
Le tre equazioni da mettere a sistema, sono quindi:
-b/2a = 1
(- b2 + 4ac) /4a = 1
(1 - b2 + 4ac)/ 4a = 0.
Osserviamo che, abbiamo dovuto prendere necessariamente la formula dell'ordinata del fuoco e non quella dell'ascisse, perché l'ascisse del fuoco e quella del vertice sono la stessa e dunque non avremmo avuto tre equazioni distinte.
3° CASO.
Sono note le coordinate del FUOCO e l'equazione della DIRETTRICE della parabola.
Esempio:
F (0; -1)
direttrice y = 3.
Noi sappiamo che l'ascissa del fuoco è uguale a:
-b/2a.
Nel nostro caso essa è uguale a 0.
Quindi possiamo scrivere:
-b/2a = 0.
L'ordinata del fuoco è uguale a:
(1 - b2 + 4ac) /4a.
Nel nostro caso essa è uguale a -1.
Quindi possiamo scrivere:
(1 - b2 + 4ac) /4a = -1.
Sappiamo anche che l'equazione della direttrice è:
y = - (1 + b2 - 4ac)/ 4a.
Nel nostro caso possiamo scrivere:
3 = - (1 + b2 - 4ac)/ 4a.
Le tre equazioni da mettere a sistema, sono quindi:
-b/2a = 0
(1 - b2 + 4ac) /4a = -1
3 = - (1 + b2 - 4ac)/ 4a.
4° CASO.
Sono note le coordinate del FUOCO e le coordinate di un PUNTO della parabola.
Esempio:
F (0; -1)
P (2; -3).
Noi sappiamo che l'ascissa del fuoco è uguale a:
-b/2a.
Nel nostro caso essa è uguale a 0.
Quindi possiamo scrivere:
-b/2a = 0.
L'ordinata del fuoco è uguale a:
(1 - b2 + 4ac) /4a.
Nel nostro caso essa è uguale a -1.
Quindi possiamo scrivere:
(1 - b2 + 4ac) /4a = -1.
Sappiamo anche che la parabola passa per il punto P. In tale punto essa assume i seguenti valori:
-3= 4a + 2b + c.
Le tre equazioni da mettere a sistema, sono quindi:
-b/2a = 0
(1 - b2 + 4ac) /4a = -1
-3= 4a + 2b + c.
- Esercizi su equazione della parabola dati un punto e il vertice
- Esercizi su equazione della parabola dati due punti e l'asse di simmetria
