INTERSEZIONE DELLA PARABOLA CON GLI ASSI CARTESIANI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione vogliamo vedere come è possibile stabilire se la PARABOLA INTERSECA gli ASSI CARTESIANI e, se sì, in quali punti.



Ad esempio:

Interesezione della parabola con gli assi cartesiani



Nell'immagine disegnata la nostra parabola interseca:

  • l'asse delle y nel punto A;
  • l'asse delle x nei punti B e C.

Come sappiamo l'ASSE delle y ha equazione:

x = 0.



Quindi, per trovare il PUNTO di INTERSEZIONE della PARABOLA con l'ASSE delle y dovremo risolvere un sistema di due equazioni: quella della parabola e quella dell'asse delle y.

Ovvero:

Interesezione della parabola con l'asse delle y



Invece, l'ASSE delle x ha equazione:

y = 0.



Quindi, per trovare il PUNTO di INTERSEZIONE della PARABOLA con l'ASSE delle x dovremo risolvere un sistema di due equazioni: quella della parabola e quella dell'asse delle x.

Ovvero:

Interesezione della parabola con l'asse delle x





Esempio 1:

determinare i punti di intersezione della parabola y = x2 - 3x + 2 con gli assi cartesiani.



Iniziamo col cercare il punto di intersezione della parabola con l'asse delle y:

Interesezione della parabola con l'asse delle y



Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:

y = 0 - 3·0 + 2 = +2.



Il sistema diventa:

Interesezione della parabola con l'asse delle y

Quindi, la nostra parabola interseca l'asse delle y nel punto

A (0; 2).



Ora cerchiamo il punto di intersezione della parabola con l'asse delle x:

Interesezione della parabola con l'asse delle x

Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:

0 = x2 - 3x + 2

che, per comodità, scriveremo come:

x2 - 3x + 2 = 0.



Si tratta di una equazione di secondo grado, la cui soluzione è:

Interesezione della parabola con gli assi cartesiani



Interesezione della parabola con gli assi cartesiani



x1 = 1 x2 = 2.



Ciò significa che la parabola ha due punti nei quali interseca l'asse delle x. Essi sono:

B (1; 0) e C (2; 0).





Esempio 2:

determinare i punti di intersezione della parabola y = x2 - 4x + 4 con gli assi cartesiani.



Iniziamo col cercare il punto di intersezione della parabola con l'asse delle y:

Interesezione della parabola con l'asse delle y



Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:

y = 0 - 4·0 + 4 = +4.



Il sistema diventa:

Interesezione della parabola con l'asse delle y



Quindi, la nostra parabola interseca l'asse delle y nel punto

A (0; 4).



Ora cerchiamo il punto di intersezione della parabola con l'asse delle x:

Interesezione della parabola con l'asse delle x

Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:

0 = x2 - 4x + 4

che, per comodità, scriveremo come:

x2 - 4x + 4 = 0.



Si tratta di una equazione di secondo grado, la cui soluzione è:

Interesezione della parabola con gli assi cartesiani



Interesezione della parabola con gli assi cartesiani



Quindi, la parabola, interseca l'asse delle x in un solo punto

B (2; 0).





Esempio 3:

determinare i punti di intersezione della parabola y = x2 + x + 1 con gli assi cartesiani.



Iniziamo col cercare il punto di intersezione della parabola con l'asse delle y:



Interesezione della parabola con l'asse delle y

Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:

y = 1.

Il sistema diventa:

Interesezione della parabola con l'asse delle y



Quindi, la nostra parabola interseca l'asse delle y nel punto

A (0; 1).



Ora cerchiamo il punto di intersezione della parabola con l'asse delle x:

Interesezione della parabola con l'asse delle x

Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:

0 = x2 + x + 1

che, per comodità, scriveremo come:

x2 + x + 1 = 0.



Andiamo a risolvere:

Interesezione della parabola con gli assi cartesiani



Interesezione della parabola con gli assi cartesiani



Questa equazione non ha soluzioni. Ciò significa che la nostra parabola non interseca, in nessun punto, l'asse delle x.



Sugli argomenti visti qui torneremo anche nella prossima lezione.

 
 
 
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