CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITA'

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• I numeri primi
• Scomposizione di un numero in fattori primi
• Criteri di divisibilità
• Proprietà delle potenze

Parlando di multipli e divisori abbiamo visto quali sono i criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 7, ecc....

Ora vogliamo chiederci se esiste un modo per stabilire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione.

Ebbene sì. Si tratta di utilizzare la scomposizione di un numero in fattori primi.

Supponiamo di voler sapere se il numero 16.632 è divisibile per 84.

La prima cosa da fare è SCOMPORRE i due NUMERI in FATTORI PRIMI.

    

Quindi possiamo scrivere:

16.632 = 2³ x 3³ x 7 x 11

84 = 2² x 3 x 7.

Ora possiamo notare che tutti i fattori primi che figurano nel numero 84 (cioè 2, 3 e 7) sono presenti anche nel numero 16.632. Inoltre tali fattori primi hanno nel primo numero (16.632) degli esponenti maggiori o uguali rispetto a quelli che hanno nel secondo numero (84).

16.632 = 2³ x 3³ x 7 x 11

84 = 2² x 3 x 7.

Infatti il 2 è presente nel numero 16.632 con esponente 3, mentre è presente nel numero 84 con esponente 2.

Il 3 è presente nel numero 16.632 con esponente 3, mentre è presente nel numero 84 con esponente 1.

Infine il 7 è presente nel numero 16.632 con esponente 1 così come nel numero 84.

Quando si verifica questa situazione possiamo dire che il primo numero è divisibile per il secondo.

Ricapitolando diciamo che un numero è DIVISIBILE per un altro quando, SCOMPONENDO entrambi in FATTORI PRIMI, il PRIMO numero CONTIENE TUTTI I FATTORI PRIMI presenti nel secondo con ESPONENTI MAGGIORI o UGUALI.

Cerchiamo di dimostrare quanto abbiamo detto. A tale proposito possiamo procedere in due modi diversi.

1° METODO.

16.632 = 2³ x 3³ x 7 x 11.

Come sappiamo dalle proprietà delle potenze il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti.

Quindi 16.632 può essere scritto anche così:

16.632 = 2² x 2 x 3 x 3² x 7 x 11.

La PROPRIETA' COMMUTATIVA della moltiplicazione ci dice che il PRODOTTO di due o più fattori NON CAMBIA, MUTANDO IL LORO ORDINE.

La PROPRIETA' ASSOCIATIVA della moltiplicazione, invece, ci dice che il PRODOTTO di più fattori NON CAMBIA se, a due o più di essi, si SOSTITUISCE il LORO PRODOTTO

Quindi possiamo scrivere:

16.632 = 2² x 2 x 3 x 3² x 7 x 11 = 2² x 3 x 7 x 2 x 3² x 11 = (2² x 3 x 7) x (2 x 3² x 11).

Ora eseguiamo la nostra divisione. Poniamo in una parentesi quadra il prodotto che rappresenta il primo numero e in una parentesi tonda il prodotto che rappresenta il secondo numero:

16.632 : 84 = [(2² x 3 x 7) x (2 x 3² x 11)] : (2² x 3 x 7)

Ora applichiamo la proprietà della divisione che dice che per DIVIDERE un PRODOTTO di più fattori per UNO DI ESSI, o per il PRODOTTO DI ALCUNI DI ESSI, si SOPPRIMONO TALI FATTORI e si fa il PRODOTTO DI QUELLI RIMASTI.

16.632 : 84 = [( 2² x 3 x 7) x (2 x 3² x 11)] : (2² x 3 x 7) = 2 x 3² x 11 = 198.

Infatti, se noi dividiamo 16.632 per 84 abbiamo come risultato 198.

2° METODO.

16.632 : 84 = (2³ x 3³ x 7 x 11) : (2² x 3 x 7).

Sappiamo, dalle proprietà della divisione, che per DIVIDERE un PRODOTTO INDICATO per un NUMERO basta DIVIDERE per quel numero UNO SOLO DEI FATTORI, che sia divisibile per quel numero, e MOLTIPLICARE poi il QUOTO OTTENUTO per GLI ALTRI FATTORI.

Quindi:

16.632 : 84 = (2³ x 3³ x 7 x 11) : (2² x 3 x 7) = (2³ : 2²) x (3³ : 3) x (7 : 7) x 11.

Per le proprietà delle potenze sappiamo che il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti.

Quindi:

16.632 : 84 = (2³ x 3³ x 7 x 11) : (2² x 3 x 7) = (2³ : 2²) x (3³ : 3) x (7 : 7) x 11 = 2¹ x 3² x 1 x 11 = 2 x 9 x 1 x 11 = 198.

Chiaramente il risultato ottenuto è lo stesso di quello che abbiamo avuto col primo metodo.

Quindi ricapitolando un numero è DIVISIBILE per un altro quando, SCOMPONENDO entrambi in FATTORI PRIMI, il PRIMO numero CONTIENE TUTTI I FATTORI PRIMI presenti nel secondo con ESPONENTI MAGGIORI o UGUALI.

Quando ciò si verifica il RISULTATO DELLA DIVISIONE (cioè il quoto) del primo per il secondo si ottiene come PRODOTTO dei FATTORI PRIMI del DIVIDENDO NON COMUNI al DIVISORE presi con l'ESPONENTE CON CUI FIGURANO nel dividendo, e dei FATTORI PRIMI COMUNI al dividendo e al divisore ciascuno dei quali va preso con ESPONENTE pari alla DIFFERENZA DEGLI ESPONENTI con cui essi figurano rispettivamente nel dividendo e nel divisore.

Esempi:

• DIVISIONE:780 : 350
• FATTORIZZAZIONE DEL DIVIDENDO:780 = 2² x 3 x 5 x 13
• FATTORIZZAZIONE DEL DIVISORE: 350 = 2 x 5² x 7
• DIVISIONE ESEGUIBILE: NO

  Il 2 è contenuto nel dividendo con esponente maggiore rispetto all'esponente del divisore, ma il 5 è contenuto nel dividendo con esponente minore rispetto a quello del divisore e il 7 non è affatto presente nel dividendo.

• DIVISIONE: 8.190 : 65
• FATTORIZZAZIONE DEL DIVIDENDO: 8.190 = 2 x 3² x 5 x 7 x 13
• FATTORIZZAZIONE DEL DIVISORE: 65 = 5 x 13
• DIVISIONE ESEGUIBILE: SI

  Il 5 e il 13 sono presenti sia nel dividendo che nel divisore con lo stesso esponente.

• RISULTATO DELLA DIVISIONE: (2 x 3² x 5 x 7 x 13) : (5 x 13)
  
  • FATTORI del DIVIDENDO NON COMUNI al DIVISORE presi con l'esponente con cui figurano nel DIVIDENDO: 2 x 3² x 7
  • FATTORI del DIVIDENDO COMUNI al DIVISORE presi esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui figurano nel DIVIDENDO e nel divisore: 5 ^1-1 = 5⁰ = 1 (qualsiasi numero elevato a zero è pari a 1)
    13 ^1-1 = 13⁰ = 1
  • QUOTO: 2 x 3² x 7 x 1 x 1 = 126

• DIVISIONE: 5.676 : 44
  
• FATTORIZZAZIONE DEL DIVIDENDO: 5.676 = 2² x 3 x 11 x 43
• FATTORIZZAZIONE DEL DIVISORE: 44 = 2² x 11
• DIVISIONE ESEGUIBILE: SI

  Il 2 e l'11 sono presenti sia nel dividendo che nel divisore con lo stesso esponente.

• RISULTATO DELLA DIVISIONE: (2² x 3 x 11 x 43) : (2² x 11)
  • FATTORI del DIVIDENDO NON COMUNI al DIVISORE presi con l'esponente con cui figurano nel DIVIDENDO: 3 x 43
  • FATTORI del DIVIDENDO COMUNI al DIVISORE presi esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui figurano nel DIVIDENDO e nel divisore 2 ^2-2 = 2⁰ = 1 (qualsiasi numero elevato a zero è pari a 1)
    11 ^1-1 = 11⁰ = 1
  • QUOTO: 3 x 43 x 1 x 1 = 129

• DIVISIONE: 3.600 : 12
• FATTORIZZAZIONE DEL DIVIDENDO: 3.600 = 2⁴ 3²x 5²
• FATTORIZZAZIONE DEL DIVISORE: 12 = 2² x 3
• DIVISIONE ESEGUIBILE: SI

  Il 2 e il 3 sono presenti sia nel dividendo che nel divisore e nel dividendo hanno un esponente maggiore rispetto all'esponente con cui compaiono nel divisore.

• RISULTATO DELLA DIVISIONE: (2⁴ x 3² x 5² ) : (2² x 3)
  • FATTORI del DIVIDENDO NON COMUNI al DIVISORE presi con l'esponente con cui figurano nel DIVIDENDO: 5²
  • FATTORI del DIVIDENDO COMUNI al DIVISORE presi esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui figurano nel DIVIDENDO e nel divisore: 2^4-2 = 2²
    
    3 ^2-1 = 3¹ = 3
  • QUOTO: 5² x 2² x 3 = 300

Il criterio generale di divisibilità è utile anche quando vogliamo cercare tutti i divisori di un certo numero.

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