RICERCA DI TUTTI I DIVISORI DI UN NUMERO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Poniamoci ora il problema di come trovare tutti i divisori di un dato numero, siano essi numeri primi che numeri composti.

Ad esempio, immaginiamo di voler sapere quali sono tutti i divisori del numero 540, ricordando che non vogliamo sapere solamente per quali numeri primi esso è divisibile, ma anche per quali numeri composti.

Per poter risolvere questo problema dobbiamo attingere a quanto abbiamo appreso in merito alla SCOMPOSIZIONE di un numero in FATTORI PRIMI e al CRITERIO GENERALE di DIVISIBILITA'.

Vediamo come procedere.

Iniziamo con lo SCOMPORRE il nostro numero in FATTORI PRIMI.

Quindi:

540 = 22 x 33 x 5.



Ora formiamo una TABELLA nella quale scriviamo, sulla prima LINEA ORIZZONTALE, il numero 1.

Nelle caselle successive della prima linea scriviamo il primo fattore, il 2, dapprima con esponente 1 e poi con esponente via via maggiore, fino all'esponente con cui compare nella scomposizione. Nel nostro caso il 2 compare con esponente 2: quindi indicheremo 2 e 22.

Ricerca dei divisori di un numero



Sulla seconda riga, scriviamo prima il numero 1 e successivamente il secondo fattore, il 3, dapprima con esponente 1 e poi con esponente via via maggiore, fino all'esponente con cui compare nella scomposizione.Nel nostro caso il 3 compare con esponente 3: quindi indicheremo 3, 32 e 33.

Ricerca dei divisori di un numero



Sulla terza riga, scriviamo prima il numero 1 e successivamente il terzo fattore dapprima con esponente 1 e poi con esponente via via maggiore, fino all'esponente con cui compare nella scomposizione.Nel nostro caso il 5 compare con solamente con esponente 1: quindi indicheremo solo 5.

Ricerca dei divisori di un numero

Si andrà avanti così fino ad esaurire tutti i fattori primi.



Ora scriviamo la tabella in modo da SVILUPPARE le POTENZE. Quindi la nostra tabella diventerà:

Ricerca dei divisori di un numero



Adesso dobbiamo moltiplicare tutti i numeri della prima riga per ogni numero della seconda riga. Quindi:

Ricerca di tutti i divisori di un numero

1, 2, 4

e ancora...

Ricerca di tutti i divisori di un numero

1, 2, 4, 3, 6, 12,

e ancora...

Ricerca di tutti i divisori di un numero

1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36



e ancora...

Ricerca di tutti i divisori di un numero

1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108.



Ora moltiplichiamo ciascun numero trovato per la terza linea orizzontale della nostra tabella.

1, 2, 4, 3, 6, 12, 9 , 18, 36, 27, 54, 108

1, 5

Avremo:

1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270, 540.



Ora li poniamo in ordine crescente e abbiamo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540.



Questi sono tutti i divisori del numero 540: come potete notare sono 24.



Quando noi stiamo cercando i divisori di un numero potremmo avere il dubbio di averne tralasciato qualcuno. Come facciamo a sapere se li abbiamo considerati tutti?

Osserviamo la scomposizione in fattori primi:

540 = 22 x 33 x 5.



Notiamo che gli esponenti dei tre fattori primi (2, 3 e 5) sono rispettivamente 2, 3 e 1.

Ora osserviamo che, se aumentiamo ognuno di questi esponenti di 1 unità avremo 3, 4 e 2 e se moltiplichiamo tra loro i valori ottenuti, avremo:

3 x 4 x 2 = 24

che è proprio il numero dei divisori di 540.



Quindi, per sapere qual è il NUMERO DEI DIVISORI di un dato numero dobbiamo SCOMPORLO in FATTORI PRIMI, AUMENTARE di UNA UNITA' ognuno degli ESPONENTI di tali fattori primi e fare il PRODOTTO dei numeri ottenuti.



La ricerca di tutti i divisori di un numero gode di un'importante proprietà.

 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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