CLASSI DI RESTO
- Partizione di un insieme
- Relazione tra insiemi
- Relazioni in un insieme
- Relazione di equivalenza
- Classi di equivalenza
- Proprietà delle classi di equivalenza
- Classi di equivalenza e partizione di un insieme
- Congruenza modulo n in Z
- Relazione di congruenza
- L'insieme dei numeri razionali relativi
Nelle lezioni precedenti abbiamo detto che la relazione nell'insieme Z dei NUMERI RELATIVI INTERI
= divisi per n danno lo stesso resto r
si chiama RELAZIONE DI CONGRUENZA.
E abbiamo dimostrato che tale relazione è una RELAZIONE DI EQUIVALENZA.
Inoltre sappiamo che, data una RELAZIONE
DI EQUIVALENZA in un certo insieme A,
si chiama CLASSE DI
EQUIVALENZA, individuata da un elemento a
appartenente ad A, l'INSIEME
di tutti gli ELEMENTI di A
che sono equivalenti ad a
mediante .
La classe di equivalenza si indica con
[a]
che si legge
classe di a.
Abbiamo anche visto che ogni RELAZIONE DI EQUIVALENZA in un insieme A determina una PARTIZIONE dell'insieme in CLASSI DI EQUIVALENZA.
Mettendo insieme quanto abbiamo appreso possiamo dire che la relazione nell'insieme Z
= divisi per n danno lo stesso resto r
determina una PARTIZIONE di Z in CLASSI DI EQUIVALENZA.
Ogni CLASSE DI EQUIVALENZA è costituita da numeri congrui tra loro modulo n.
Tali CLASSI DI EQUIVALENZA prendono il nome di CLASSI DI RESTI modulo n.
Quindi una CLASSE DI RESTO r modulo n è un INSIEME di NUMERI INTERI RELATIVI che divisi per n danno lo stesso resto r.
Tale classe la indichiamo con il simbolo
[r]
che si legge
classe di r
oppure con il simbolo
[r]n
che si legge
classe di r modulo n.
La divisione per n può dare n resti diversi, quindi per ogni n esisteranno n classi di resto.
Esempio:
n = 2
le classi di resto modulo 2 saranno 2, ed esattamente
[0]2 = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
[1]2 = {..., -3, -1, 1, 3, 5, ...}.
n = 3
le classi di resto modulo 3 saranno 3, ed esattamente
[0]3 = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}
[1]3 = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}
[2]3 = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}.
n = 4
le classi di resto modulo 4 saranno 4, ed esattamente
[0]4 = {..., -8, -4, 0, 4, 8, ...}
[1]4 = {..., -7, -3, 1, 5, 9, ...}
[2]4 = {..., -6, -2, 2, 6, 10, ...}
[3]4 = {..., -5, -1, 3, 7, 11, ...}.
E così via.
Per capire come si costruiscono le classi di merito modulo n, si legga Classi di resto modulo n.
