FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA COTANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto qual è la FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA COTANGENTE e come si giunge ad essa.

Sempre nella precedente lezione abbiamo detto che esiste un altro modo per dimostrare la formula di duplicazione della cotangente.

In questa lezione andremo a vedere questo secondo metodo.


Come sempre, iniziamo con lo scrivere:

cotg 2α


Noi sappiamo che la COTANGENTE di un angolo può essere espressa come il RAPPORTO tra il COSENO e il SENO dello stesso angolo. Quindi possiamo scrivere:

Formula di duplicazione della cotangente


La formula di duplicazione del coseno ci dice che:

cos 2α = cos2 α - sen2 α

mentre la formula di duplicazione del seno ci dice che:

sen 2α = 2 sen α · cos α


Andando a sostituire queste due formule nella precedente, possiamo scrivere:

Formula di duplicazione della cotangente


Ovviamente, trattandosi di una frazione, dobbiamo porre come condizione che il denominatore sia diverso da zero, affinché la frazione abbia significato. Quindi, la condizone da porre è:

2 sen α · cos α ≠ 0

Ovviamente questa condizione si verifica quando:

sen α ≠ 0

e

cos α ≠ 0

Affinché sen α sia diverso da 0 è necessario che:

α ≠ kπ

E affinché cos α sia diverso da 0 è necessario che:

α ≠ (π/2) + kπ

in entrambi i casi

con k ∈ Z

Ora torniamo alla nostra formula

Formula di duplicazione della cotangente


e andiamo a dividere, numeratore e denominatore, per sen2 α:

Formula di duplicazione della cotangente

da cui otteniamo:

Formula di duplicazione della cotangente

Semplificando, avremo:

Formula di duplicazione della cotangente


Poiché abbiamo diviso numeratore e denominatore per il sen2 α dobbiano porre come ulteriore condizione che:

sen2 α ≠ 0

che equivale a dire

sen α ≠ 0

ma questa condizione l'avevamo già posta in precedenza e quindi non è necessario riproporla.



Ora, ricordando che il rapporto tra il coseno e il seno di un angolo non è altro che la cotangente dell'angolo stesso, riscriviamo la formula di duplicazione della cotangente nel modo seguente:

Formula di duplicazione della cotangente

poste le seguenti condizioni di esistenza

α ≠ kπ

α ≠ (π/2) + kπ

con k ∈ Z



Ancora una volta si tratta esattamente della stessa formula a cui eravamo giunti nella precedente lezione.


 
 
 
 
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