INTRODUZIONE AL CONCETTO DI RADIANTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo accennato al RADIANTE, come unità di misura dell'AMPIEZZA degli ANGOLI usato nel SISTEMA INTERNAZIONALE.



In questa lezione ci occuperemo meglio del RADIANTE per capire esattamente cos'è.



Iniziamo col dire che il RADIANTE è una MISURA LINEARE dell'ANGOLO e che il simbolo con il quale viene indicato è rad.

Per comprendere in cosa consiste il radiante bisogna capire qual è la relazione esistente tra ANGOLI AL CENTRO di una circonferenza e gli ARCHI CORRISPONDENTI.

Dallo studio della geometria abbiamo appreso che la LUNGHEZZA di un ARCO è DIRETTAMENTE PROPORZIONALE all'AMPIEZZA DELL'ARCO corrispondente.

Ricordiamo che la LUNGHEZZA della CIRCONFERENZA è pari a


C = 2πr

Data la circonferenza di raggio r

Circonferenza di raggio r

è evidente che:

  • se l'angolo al centro ha un'ampiezza di , la lunghezza dell'arco corrispondente sarà 0;
  • se l'angolo al centro ha un'ampiezza di 360°, la lunghezza dell'arco corrispondente sarà pari all'intera circonferenza, ovvero 2πr;

    Lunghezza dell'arco di circonferenza

  • se l'angolo al centro ha un'ampiezza di 180°, la lunghezza dell'arco corrispondente sarà pari alla metà della circonferenza, ovvero (2πr)/2 = πr;

    Lunghezza dell'arco di circonferenza

  • se l'angolo al centro ha un'ampiezza di 90°, la lunghezza dell'arco corrispondente sarà pari alla quarta parte della circonferenza, ovvero (2πr)/4 = (πr)/2 ;

    Lunghezza dell'arco di circonferenza

  • se l'angolo al centro ha un'ampiezza di , la lunghezza dell'arco corrispondente sarà pari alla trecentosessantesima parte della circonferenza, ovvero (2πr)/360 = (πr)/180;


Generalizzando possiamo dire che, se indichiamo con:


α°   l'ampiezza dell'angolo al centro

e con


l   la lunghezza dell'arco corripondente

avremo la seguente relazione


l : α° = 2πr = 360°

Quindi, conoscendo l'ampiezza dell'angolo α° possiamo determinare la lunghezza dell'arco corrispondente che sarà pari a


Relazione tra ampiezza dell'angolo al centro e lunghezza dell'arco corrispondente

La relazione appena vista può essere scritta anche così:


Relazione tra ampiezza dell'angolo al centro e lunghezza dell'arco corrispondente

che semplificando diventa


Relazione tra ampiezza dell'angolo al centro e lunghezza dell'arco corrispondente



Esempio: supponiamo di avere una circonferenza il cui raggio r misura 5 cm. Vogliamo conoscere la lunghezza dell'arco corrispondente all'angolo al centro di 30°.


Lunghezza dell'arco conoscendo l'angolo al centro corrispondente

Basterà applicare la formula appena vista e avremo:


Lunghezza dell'arco conoscendo l'angolo al centro corrispondente



Ora, data la circonferenza di raggio r, andiamo a disegnare una circonferenza ad essa concentrica, di raggio r' tale che r' > r.


Relazione tra lunghezza dell'arco e raggio della circonferenza



Osserviamo la nostra immagine e notiamo che, sia l'arco l che l'arco l' sono archi corrispondenti all'angolo al centro α la cui ampiezza, quindi, è la stessa in entrambi i casi (nell'esempio sopra tale ampiezza è di 30°).

Abbiamo detto che la lunghezza dell'arco l è:


Relazione tra ampiezza dell'angolo al centro e lunghezza dell'arco corrispondente

e ovviamente la lunghezza dell'arco l' è:


Relazione tra ampiezza dell'angolo al centro e lunghezza dell'arco corrispondente



Ora dividiamo entrambi i membri della prima relazione per il raggio r. Avremo:


Relazione tra ampiezza dell'angolo al centro e lunghezza dell'arco corrispondente



Facciamo la stessa cosa con la seconda relazione e dividiamo entrambi i membri per il raggio r'. Avremo:


Relazione tra ampiezza dell'angolo al centro e lunghezza dell'arco corrispondente



Ora mettiamo a confronto le due relazioni ottenute:


Nozione di radiante

Notiamo che:

  • π/180 è una COSTANTE, uguale in entrambe le relazioni scritte;
  • l'ampiezza dell'angolo α° è sempre la stessa in entrambe le relazioni. Questo significa che il RAPPORTO tra la LUNGHEZZA DI UN ARCO e il RAGGIO della sua circonferenza è uguale anche in circonferenze diverse, cioè aventi raggio diverso, se consideriamo archi corrispondenti ad ANGOLI al CENTRO della STESSA AMPIEZZA. Infatti, nel nostro esempio i secondi membri delle due relazioni scritte sono uguali, quindi saranno uguali anche i primi membri delle due relazioni viste. In altre parole possiamo scrivere:

Nozione di radiante



Questo ci permette di introdurre il concetto di RADIANTE che vedremo meglio nella prossima lezione.

 
 
 
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