IDENTITA' GONIOMETRICHE
Per IDENTITA' GONIOMETRICA si intende l'UGUAGLIANZA, tra due FUNZIONI GONIOMETRICHE, che risulta essere VERIFICATA per QUALUNQUE VALORE assunto dall'arco, ad ECCEZIONE di quei valori dell'arco che fanno PERDERE DI SIGNIFICATO ad almeno un termine dell'identità.
Esempio:
sen α = 2t/1+t2
con
t = tan α/2
Quella che abbiamo appena scritto è una FORMULA PARAMETRICA ed esattamente la formula parametrica del seno.
Essa è verificata per:
α/2 ≠ π/2 + kπ
Un'altra identità goniometrica è:
cos α = (1 - t2)/ (1 + t2)
con
t = tan α/2
Anche questa è una FORMULA PARAMETRICA ed esattamente la formula parametrica del coseno.
Anche in questo caso l'identità è verificata per:
α/2 ≠ π/2 + kπ
In entrambi i casi, possiamo dire che l'identità è verificata per valori di
α/2 ≠ π/2 + kπ
che, moltiplicando tutti i termini per 2, può essere scritta anche come
α ≠ π + 2kπ
Infatti, in entrambi i casi, quando α assume tali valori i primi membri sono definiti, mentre i secondi membri sono privi di significato.
Un altro esempio di IDENTITA' GONIOMETRICA è il seguente:
Ricordando che la prima relazione fondamentale della goniometria ci dice che:
cos2 α = 1 - sen2 α
possiamo sostituire, al numeratore, la prima relazione fondamentale della goniometria, è scriviamo:
Ora portiamo il seno di α a primo membro cambiando di segno:
Eseguiamo la somma algebrica a primo membro:
Effettuiamo la somma algebrica di - sen2 α e + sen2 α ed otteniamo:
Chiaramente quella da noi scritta è un'identità dato che, qualunque sia il valore di α, dividendo un valore per se stesso, si ottiene come risultato 1.
Ovviamente, affinché l'uguaglianza sia vera è necesario che:
1 - sen α ≠ 0
da cui segue:
- sen α ≠ -1
sen α ≠ 1
α ≠ π/2 + 2kπ
Infatti, quando α è uguale a π/2 il suo seno è pari a 1, mentre il suo coseno sarà pari a 0. Di conseguenza:
cos2 α / (1 - sen α) = 0 /(1-1) = 0/0
che rappresenta una forma indeterminata.
Nella prossima lezione vedremo alcuni esempi pratici.
