COME SI RISOLVONO LE IDENTITA' GONIOMETRICHE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto cosa si intende per IDENTITA' GONIOMETRICA e abbiamo visto anche alcuni esempi di identità goniometriche.

Ora proviamo a chiederci: "Come facciamo a capire se un'uguaglianza tra due funzioni goniometriche è un'identità?".

Possiamo provare a seguire due vie:

  • proviamo a TRASFORMARE UNO DEI DUE MEMBRI nell'altro;
  • oppure proviamo a TRASFORMARE ENTRAMBI I MEMBRI fino a che non otteniamo due espressioni identiche.

In entrambi i casi, le TRAFORMAZIONI vanno fatte applicando le FORMULE GONIOMETRICHE.


Vediamo un primo esempio nel quale andremo a TRASFORMARE UNO SOLO DEI MEMBRI dell'uguaglianza, nell'altro.


Risoluzione di una identità goniometrica


Dobbiamo capire se quella che abbiamo appena scritto è un'identità o meno.

Per farlo, poiché nella nostra eguaglianza compaiono solamente seno e coseno, ci sembra probabile poter effettuare una trasformazione del primo membro nel secondo usando la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA.

In modo particolare, dato che a primo membro compare il seno al quadrato, proviamo ad usare la relazione

sen2 α = 1 - cos2 α


Effettuiamo la sostituzione:

Risoluzione di una identità goniometrica

Risoluzione di una identità goniometrica


Ora, eseguiamo la somma indicata a primo membro e riduciamo i termini simili:

Risoluzione di una identità goniometrica


Abbiamo così dimostrato che, quella scritta in precedenza, è un'IDENTITA' GONIOMETRICA. Ovviamente, affinché essa non perda di significato, è necessario porre

cos2 α ≠ 0

che si verifica quando

α ≠ π/2 + kπ



Ora vediamo un altro esempio: questa volta andremo a TRASFORMARE ENTRAMBI I MEMBRI dell'uguaglianza.


Risoluzione di una identità goniometrica


Anche in questo caso proviamo ad utilizzare la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA dato che a primo membro troviamo sia il seno che il coseno e, quindi, ci sembra opportuno trasformare tutto in seno (ovviamente potremmo decidere anche di trasformare tutto in coseno).



Posto che

cos2 α = 1 - sen2 α

Andiamo a sostituire ed otteniamo:

Risoluzione di una identità goniometrica

Risoluzione di una identità goniometrica


Ora andiamo a ridurre i temini simili:

Risoluzione di una identità goniometrica


A questo punto non ci resta che andare a trasformare anche il secondo membro ricordando che la SECANTE non è altro che la FUNZIONE RECIPROCA DEL COSENO, ovvero:

sec α = 1/ cos α

Sostituiamo a secondo membro ed abbiamo:

Risoluzione di una identità goniometrica


Anche in questo caso, quindi, abbiamo dimostrato che ci troviamo di fronte ad un'IDENTITÀ GONIOMETRICA. Anche in questo caso, affinché l'identità non perda di significato, è necesario che:

cos2 α ≠ 0

che si verifica quando

α ≠ π/2 + kπ



 
 
 
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