COME SI RISOLVONO LE IDENTITA' GONIOMETRICHE

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Identità goniometriche

Nella lezione precedente abbiamo visto cosa si intende per IDENTITA' GONIOMETRICA e abbiamo visto anche alcuni esempi di identità goniometriche.

Ora proviamo a chiederci: "Come facciamo a capire se un'uguaglianza tra due funzioni goniometriche è un'identità?".

Possiamo provare a seguire due vie:

• proviamo a TRASFORMARE UNO DEI DUE MEMBRI nell'altro;
• oppure proviamo a TRASFORMARE ENTRAMBI I MEMBRI fino a che non otteniamo due espressioni identiche.

In entrambi i casi, le TRAFORMAZIONI vanno fatte applicando le FORMULE GONIOMETRICHE.

Vediamo un primo esempio nel quale andremo a TRASFORMARE UNO SOLO DEI MEMBRI dell'uguaglianza, nell'altro.

Dobbiamo capire se quella che abbiamo appena scritto è un'identità o meno.

Per farlo, poiché nella nostra eguaglianza compaiono solamente seno e coseno, ci sembra probabile poter effettuare una trasformazione del primo membro nel secondo usando la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA.

In modo particolare, dato che a primo membro compare il seno al quadrato, proviamo ad usare la relazione

sen² α = 1 - cos² α

Effettuiamo la sostituzione:

Ora, eseguiamo la somma indicata a primo membro e riduciamo i termini simili:

Abbiamo così dimostrato che, quella scritta in precedenza, è un'IDENTITA' GONIOMETRICA. Ovviamente, affinché essa non perda di significato, è necessario porre

cos² α ≠ 0

che si verifica quando

α ≠ π/2 + kπ

Ora vediamo un altro esempio: questa volta andremo a TRASFORMARE ENTRAMBI I MEMBRI dell'uguaglianza.

Anche in questo caso proviamo ad utilizzare la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA dato che a primo membro troviamo sia il seno che il coseno e, quindi, ci sembra opportuno trasformare tutto in seno (ovviamente potremmo decidere anche di trasformare tutto in coseno).

Posto che

cos² α = 1 - sen² α

Andiamo a sostituire ed otteniamo:

Ora andiamo a ridurre i temini simili:

A questo punto non ci resta che andare a trasformare anche il secondo membro ricordando che la SECANTE non è altro che la FUNZIONE RECIPROCA DEL COSENO, ovvero:

sec α = 1/ cos α

Sostituiamo a secondo membro ed abbiamo:

Anche in questo caso, quindi, abbiamo dimostrato che ci troviamo di fronte ad un'IDENTITÀ GONIOMETRICA. Anche in questo caso, affinché l'identità non perda di significato, è necesario che:

cos² α ≠ 0

che si verifica quando

α ≠ π/2 + kπ

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Indice degli argomenti sulle equazioni goniometriche

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