FORMULA PARAMETRICA DEL COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver parlado della formula paramentrica del seno, ora ci occuperemo della FORMULA PARAMENTRICA DEL COSENO.

Come di consueto scrivamo il coseno dell'angolo α come

cos α = cos 2 · α/2



La FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL COSENO ci dice che:

cos 2α = cos2 α - sen2 α


Andiamo a sostituire questa formula nella precedente:

Formula parametrica del coseno



Ora vogliamo trasformare il secondo membro in una frazione: per farlo, lo andiamo a dividere per 1.

Formula parametrica del coseno



La PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che la SOMMA del SENO AL QUADRATO di un angolo e del COSENO AL QUADRATO dello stesso angolo è uguale a 1. Quindi

sen2 α/2 + cos2 α/2 = 1


Di conseguenza possiamo scrivere il denominatore della nostra frazione come:

Formula parametrica del coseno



A questo punto dividiamo numeratore e denominatore per cos 2 α/2.


Ovviamente, prima di eseguire la divisione dobbiamo porre come condizione che

cos2 α/2 ≠ 0

da cui ricaviamo

cos α/2 ≠ 0

e noi sappiamo che ciò accade quando l'angolo misura 90°, 270°, ecc..

In altre parole la condizione da porre è

α/2 ≠π/2 + kπ

e moltiplicando tutto per due, la nostra condizione diventa:

α ≠ π + 2kπ



Torniamo alla nostra formula che, dopo la divisione, si presenta così:

Formula parametrica del coseno


Andiamo a scriverla nel modo seguente:

Formula parametrica del coseno


Semplifichiamo:

Formula parametrica del coseno


Ora, ricordando che:

possiamo scrivere:

Formula parametrica del coseno

e modificando l'ordine diventa

Formula parametrica del coseno



Ovviamente dobbiamo ricordarci di porre la condizione

α/2 = π/2 + kπ

con   k ∈ Z




Spesso, per una questione di praticità, si pone:

t = tan α/2

per cui la formula diventa:

Formula parametrica del seno



 
 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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