DIVISIBILITA' DI UN POLINOMIO P(x) PER IL BINOMIO (x-a)
In
un precedente approfondimento abbiamo visto che quando i TERMINI
di un polinomio sono tutte POTENZE
della lettera x, essa si dice VARIABILE
e il polinomio viene detto FUNZIONE
della VARIABILE x.
Il nostro polinomio può essere indicato anche con
P(x).
Ora noi vogliamo DIVIDERE il polinomio
P(x)
per il binomio
(x - a)
dove
a
è un NUMERO
RELATIVO qualunque.
Quindi, anziché:
vista in precedenza, possiamo scrivere
che si legge:
P
con x è uguale a x-a che moltiplica Q con x più R.
Il
secondo membro di questa eguaglianza non è nient'altro che una trasformazione
del primo. Questo significa che essa vale per qualsiasi valore di x.
Immaginiamo ora di sostituire alla lettera x il valore a. Avremo:
P(a) = (a - a) Q(a) + R.
Ovviamente
(a - a) = 0
e quindi:
(a - a) Q(a) = 0.
Pertanto se sostituiamo alla x il valore a, avremo:
P(a) = 0 + R = R.
Quindi:
P(a) = R.
Pertanto possiamo dire che il RESTO della DIVISIONE di un POLINOMIO INTERO in x, P(x), per il BINOMIO (x - a) è il valore che assume il polinomio stesso quando SOSTITUIAMO alla lettera x il numero a.
Quella che abbiamo appena enunciato prende anche il nome di REGOLA del RESTO.
Esempio:
vogliamo conoscere il resto della seguente divisione, senza eseguire la stessa
(x2+3x+2)
: (x - 1).
Sostituiamo nel dividendo alla x il valore 1 e avremo:
P(1)
=12+3·1+2 = 6.
Provate ad eseguire la divisione indicata e vedrete che il resto è proprio 6.
Notiamo anche che, se P(x) è divisibile per (x-a), il RESTO della divisione sarà ZERO. Cioè
R = 0.
Quindi, poiché
P(a) = R
avremo che
P(a) = 0.
Viceversa se
P(a) = 0
avremo senz'altro che
R = 0.
Di conseguenza P(x) è divisibile per (x-a).
Possiamo allora affermare che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.
Esempio:
(2x2 -6x +4) : (x-2).
Senza
eseguire la divisione vogliamo sapere se i due polinomi sono divisibili
tra loro.
Poniamo:
P(2) = 2·22 -6·2 +4 = 8 - 12 + 4 = 0.
I
due polinomi sono divisibili tra loro.
Vediamo un altro esempio:
(5x2 -7x -1) : (x-3).
Poniamo:
P(3) = 5·32 -7·3 -1 = 45 - 21 -1 = 23.
I
due polinomi non sono divisibili tra loro. Il
resto della divisione è 23.
Nella prossima lezione vedremo cosa accade quando il divisore è del tipo x + a.