DIVISIBILITA' DI UN POLINOMIO P(x) PER IL BINOMIO (x-a)

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

In un precedente approfondimento abbiamo visto che quando i TERMINI di un polinomio sono tutte POTENZE della lettera x, essa si dice VARIABILE e il polinomio viene detto FUNZIONE della VARIABILE x.

Il nostro polinomio può essere indicato anche con

P(x).

Ora noi vogliamo DIVIDERE il polinomio

P(x)

per il binomio

(x - a)

dove

a è un NUMERO RELATIVO qualunque.

Quindi, anziché:

A = B per Q più R

vista in precedenza, possiamo scrivere

P(x) = (x-a) Q(x) +R

che si legge:

P con x è uguale a x-a che moltiplica Q con x più R.

Il secondo membro di questa eguaglianza non è nient'altro che una trasformazione del primo. Questo significa che essa vale per qualsiasi valore di x.

Immaginiamo ora di sostituire alla lettera x il valore a. Avremo:

P(a) = (a - a) Q(a) + R.

Ovviamente

(a - a) = 0

e quindi:

(a - a) Q(a) = 0.

Pertanto se sostituiamo alla x il valore a, avremo:

P(a) = 0 + R = R.

Quindi:

P(a) = R.

Pertanto possiamo dire che il RESTO della DIVISIONE di un POLINOMIO INTERO in x, P(x), per il BINOMIO (x - a) è il valore che assume il polinomio stesso quando SOSTITUIAMO alla lettera x il numero a.

LA LEZIONE PROSEGUE SOTTO LA PUBBLICITA'

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Quella che abbiamo appena enunciato prende anche il nome di REGOLA del RESTO.

Esempio:

vogliamo conoscere il resto della seguente divisione, senza eseguire la stessa

(x²+3x+2) : (x - 1).

Sostituiamo nel dividendo alla x il valore 1 e avremo:

P(1) =1²+3·1+2 = 6.

Provate ad eseguire la divisione indicata e vedrete che il resto è proprio 6.

Notiamo anche che, se P(x) è divisibile per (x-a), il RESTO della divisione sarà ZERO. Cioè

R = 0.

Quindi, poiché

P(a) = R

avremo che

P(a) = 0.

Viceversa se

P(a) = 0

avremo senz'altro che

R = 0.

Di conseguenza P(x) è divisibile per (x-a).

Possiamo allora affermare che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.

Esempio:

(2x²-6x +4) : (x-2).

Senza eseguire la divisione vogliamo sapere se i due polinomi sono divisibili tra loro.

Poniamo:

P(2) = 2·2²-6·2 +4 = 8 - 12 + 4 = 0.

I due polinomi sono divisibili tra loro.

Vediamo un altro esempio:

(5x²-7x -1) : (x-3).

Poniamo:

P(3) = 5·3²-7·3 -1 = 45 - 21 -1 = 23.

I due polinomi non sono divisibili tra loro. Il resto della divisione è 23.

Nella prossima lezione vedremo cosa accade quando il divisore è del tipo x + a.