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TRINOMIO di SECONDO GRADO con  DISCRIMINANTE NEGATIVO

 

Per approfondire  

 

Nella lezione dedicata alla FATTORIZZAZIONE DI UN TRINOMIO di SECONDO GRADO abbiamo visto che, se il DISCRIMINANTE è MINORE di ZERO il trinomio non si può fattorizzare.

 

Quindi se:

Δ = b2 - 4ac < 0

il trinomio

ax2 + bx + c = 0

 

NON può essere FATTORIZZATO cioè scritto come prodotto:

  • del COEFFICIENTE del TERMINE DI SECONDO GRADO del trinomio (a);

  • per la differenza tra la VARIABILE x e la PRIMA RADICE (x-x1);

  • per la differenza tra la VARIABILE x e la SECONDA RADICE (x-x1).

 

Ciò nonostante il trinomio può essere scritto sotto forma del PRODOTTO tra il COEFFICIENTE del TERMINE DI SECONDO GRADO e una ESPRESSIONE sempre positiva.

 

In pratica il nostro trinomio può essere scritto nel modo seguente:

 

 Fattorizzazione di un trinomio

 

Vediamo come si giunge a questa formula.

Partiamo dal trinomio di secondo grado:

Fattorizzazione di un trinomio

 

METTIAMO in EVIDENZA la a:

Fattorizzazione di un trinomio

 

Ora sommiamo e sottraiamo, all'interno della parentesi b2/4a2:

Fattorizzazione di un trinomio

 

Cambiamo l'ordine con il quale sono disposti gli addendi:

Fattorizzazione di un trinomio

 

Possiamo notare che i primi tre termini scritti in parentesi tonda sono il quadrato di un binomio ed esattamente di

Fattorizzazione di un trinomio

 

Infatti:

Fattorizzazione di un trinomio

 

Sostituiamo questo quadrato nel polinomio precedente. Avremo:

Fattorizzazione di un trinomio

 

Ora sommiamo, nella parentesi quadra, c/a e -b2/4a2.

Il minimo comune multiplo tra i due è 4a2. Quindi avremo:

Fattorizzazione di un trinomio

 

Siamo così giunti al prodotto che avevamo indicato inizialmente. Ovvero

Fattorizzazione di un trinomio

 

Abbiamo detto all'inizio che il trinomio, avente DELTA NEGATIVO,  può essere scritto sotto forma del prodotto tra il coefficiente del termine di secondo grado e una espressione SEMPRE POSITIVA.

 

Ovvero:

 

Fattorizzazione di un trinomio

 

Cerchiamo ora di capire perché possiamo affermare che l'espressione tra parentesi quadra è sempre positiva.

Essa è la SOMMA di:

  • un QUADRATO 

Fattorizzazione di un trinomio  

che è sempre un valore positivo;

  • e dell'espressione

Fattorizzazione di un trinomio

Il denominatore di questa frazione è un quadrato, quindi è positivo.

Il numeratore è il DELTA preso con segno meno. Infatti:

Δ = b2 - 4ac

-Δ = - b2 + 4ac = 4ac - b2.

Ora noi stiamo esaminando il caso di un TRINOMIO con DISCRIMINANTE NEGATIVO, quindi sappiamo che:

Δ < 0.

Di conseguenza 

- Δ > 0.

Quindi anche il numeratore sarà sempre positivo.

Di conseguenza la frazione avrà sempre segno positivo.

 

 

 

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