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DISEQUAZIONI di secondo grado PARAMETRICHE

 

Per comprendere  

 

Continuiamo a parlare di DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO PARAMETRICHE e vediamo come si risolvono le disequazioni nelle quali il PARAMETRO compare nel PRIMO COEFFICIENTE: in questa casistica si comprendono sia i casi nei quali il parametro è presente solo nel primo coefficiente, che i casi nei quali il parametro è presente nel primo coefficiente, ma anche nel secondo o nel termine noto o in entrambi.

 

Alcuni esempi di questo tipo di disequazioni sono:

(a + 2)x2 + x + 2 > 0

kx2 +k x + 2 > 0

(k - 1)x2 + x + k2 > 0

mx2 + (m+2) x + m > 0.

 

 

Rispetto agli esempi visti nella lezione precedente in questo caso occorre tenere conto anche di due fattori:

  • la presenza delPARAMETRO nel primo coefficiente fa sì che, se tale coefficiente è NULLO la disequazione diventa una disequazione di primo grado. Tale disequazione sarà:

     

    • una normale disequazione di primo grado, se il parametro è presente solamente nel primo coefficiente;

     

     

  • la presenza del parametro nel primo coefficiente fa sì che non conosciamo a priori il SEGNO DEL TRINOMIO. Esso dipende dai valori assunti dal parametro stesso.

 

Per il resto nulla cambia rispetto a quanto detto nella lezione precedente.

 

Ora cerchiamo di capire meglio tutto quanto con un esempio:

kx2 + 2x + 1 > 0.

 

Cominciamo col dire che, se

k = 0

 

la disequazione diventa una normale disequazione di primo grado. Infatti:

0·x2 + 2x + 1 > 0

ovvero

2x + 1 > 0

2x > -1

x > -1/2.

 

 

Se, invece 

k ≠ 0

la disequazione avrà come soluzioni

 

Soluzione disequazione di secondo grado parametrica

 

 

Vediamo i valori assunti dal discriminante.

Partiamo dal primo caso

Δ > 0.

Questa situazione si verifica quando

4 - 4k > 0

-4k > - 4

4k < 4

k < 1.

 

Quindi quando k < 1 la disequazione ammette due soluzioni distinte. Ma essa è verificata per i valori interni o quelli esterni alle due soluzioni?

Dipende dal segno di k.

Se 

k < 0

(e quindi senz'altro minore di 1 e tale da rendere il discriminante positivo), essendo il primo termine della disequazione negativo e il segno della disequazione positivo (>) la soluzione è data dai valori interni, ovvero

 

Soluzione disequazione di secondo grado parametrica

 

Se 

0 < k < 1

(e quindi maggiore di zero, ma non maggiore di 1 altrimenti il discriminante non sarebbe più positivo), essendo il primo termine della disequazione positivo e il segno della disequazione positivo (>) la soluzione è data dai valori esterni, ovvero

 

Soluzione disequazione di secondo grado parametrica

 

 

 

Vediamo ora quando

Δ = 0.

Questa situazione si verifica quando

4 - 4k = 0

ovvero quando

- 4k = -4

4k = 4

k =4/4

k = 1.

 

In questo caso, essendo il coefficiente del primo termine positivo ( 1 ) ed il segno della disequazione positivo ( > ), la disequazione è vera per qualsiasi x.

 

 

 

Concludiamo il nostro esame vedendo cosa accade quando

Δ < 0.

Questa situazione si verifica quando

4 - 4k < 0

ovvero quando

- 4k < -4

4k > 4

k > 4/4

k > 1.

 

In questo caso, essendo il coefficiente del primo termine positivo ( > 1 ) ed il segno della disequazione positivo ( > ), la disequazione è vera per qualsiasi x.

 

Nella prossima lezione vedremo un altro tipo di esercizi con disequazioni parametriche di secondo grado.

 

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