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Insieme Q: INSIEME DISCONTINUO

 

Per comprendere  

 

Continuiamo l'esame dei NUMERI RAZIONALI.

Nella lezione precedente abbiamo detto che, non esiste un numero q appartenente all'insieme dei numeri razionali tale che q al quadrato sia uguale a 2.

 

Ora immaginiamo di avere un QUADRATO il cui lato è uguale ad 1. Lo disegniamo su una retta: la retta dei numeri relativi.

Ecco come si presenta il nostro quadrato:

quadrato di lato 1

 

Abbiamo fissato sulla retta il punto O al quale abbiamo associato il numero 0. Abbiamo poi disegnato sulla retta il numero 1, il numero 2 e così via.

Il segmento OA rappresenta il lato del nostro quadrato ed è pari ad 1.

Ora vogliamo calcolare la diagonale del nostro quadrato. In altre parole vogliamo calcolare la lunghezza del segmento OP.

Per il teorema di Pitagora esso sarà uguale a:

 

OP è uguale alla radice di OA al quadrato più AP al quadrato

 

Ora noi sappiamo che OA misura 1.

Sappiamo anche che in un quadrato tutti i lati sono congruenti, quindi anche AP misura 1.

Pertanto possiamo scrivere:

OP è uguale alla radice di 1 al quadrato più 1 al quadrato

 

 

Ma noi abbiamo detto, nella lezione precedente, che non esiste un numero razionale la cui radice quadrata sia 2. Questo ci porta ad affermare che non esiste alcun numero razionale che esprime la misura della diagonale del quadrato rispetto a quella del lato.

Possiamo allora affermare che esistono coppie di segmenti, come in questo caso il lato e la diagonale del quadrato, tra loro INCOMMENSURABILI, cioè tali che il rapporto tra le loro misure non è esprimibile come un numero razionale.

 

Ora torniamo al nostro quadrato 

Quadrato di lato 1

 

e disegniamo la circonferenza di centro O avente raggio OP:

circonferenza di centro O e raggio pari ad OP

Il segmento OB rappresenta uno dei raggi della circonferenza, quindi tale segmento è pari alla radice quadrata di 2:

circonferenza di centro O e raggio pari ad OP

 

Il punto B, rappresentato sulla retta, quindi, non individua un numero razionale.

Per questa ragione si dice che Q è un'insieme denso, ma DISCONTINUO

Cosa significa tutto ciò?

Abbiamo detto che, affermare che Q è un'insieme denso significa dire che, dato un qualsiasi INTERVALLO, ESISTE ALMENO un ELEMENTO INTERNO ad esso. Pertanto, stabiliti arbitrariamente due numeri razionali, esiste sempre un altro numero razionale tra essi compreso e di conseguenza ne esistono infiniti.

Ma Q è anche un insieme DISCONTINUO, cioè in Q ci sono dei buchi. In altre parole tra due numeri razionali ce ne sono alcuni che non appartengono a Q come nel nostro caso la  radice quadrata di 2 che non è un razionale.

 

 

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