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L'insieme Q: sua inadeguatezza

 

Per comprendere  

 

Parlando dei NUMERI RAZIONALI abbiamo detto che  l'ESTRAZIONE DI RADICE non sempre è un'operazione interna in Q

 

Consideriamo ad esempio la radice quadrata di 2:

Radice quadrata di 2

 

Non esiste nessun numero razionale che elevato al quadrato mi dia come risultato 2

Quindi, se indichiamo con q un numero razionale, potremo dire che:

Non esiste un numero q appartenente ai razionali tali che q al quadrato è uguale a 2

che si legge

non esiste un numero q appartenente all'insieme dei numeri razionali tale che q al quadrato è uguale a 2.

 

Ora dimostriamo, per assurdo, quanto abbiamo detto.

Essendo q un numero razionale possiamo scriverlo sotto forma di rapporto tra due numeri m ed n appartenenti ai naturali con n diverso da zero.

Quindi:

q = m/n

con

n ≠ 0.

 

Ora se esiste un numero q appartenente ai razionali, tale che il suo quadrato è uguale a 2 dovremmo poter scrivere:

q2 = (m/n)2 = 2.

 

Ma elevare una frazione al quadrato significa elevare al quadrato sia il numeratore che il denominatore. Quindi possiamo scrivere:

m2/n2 = 2.

 

Ora moltiplichiamo il primo e il secondo membro per n2 e avremo:

(m2/n2)· n2 = 2n2.

 

Semplifichiamo ed otteniamo:

m2 = 2n2.

 

Ora osserviamo i numeri naturali m ed n:

  • se m è un NUMERO PARI esso contiene il fattore 2. Di conseguenza m2 contiene il fattore 2 un numero pari di volte. 

Esempio:

Numero pari Contiene il fattore 2 Quadrato Contiene il fattore 2
2 1 volta 4 2 volte
4 2 volta 16 4 volte
6 1 volta 36 2 volte
8 3 volte 64 6 volte
10 1 volta 100 2 volte

 

  • se m è un NUMERO DISPARI esso NON contiene il fattore 2. Di conseguenza anche  m2 NON contiene il fattore 2

Esempio:

Numero pari Contiene il fattore 2 Quadrato Contiene il fattore 2
3 no 9 no
5 no 25 no
7 no 49 no
9 no 81 no
11 no 121 no

 

  • se n è un NUMERO PARI esso contiene il fattore 2. Di conseguenza n2 contiene il fattore 2 un numero pari di volte e 2n2 contiene il fattore 2 un numero dispari di volte;

 

  • se n è un NUMERO DISPARI esso NON contiene il fattore 2. Di conseguenza n2 NON contiene il fattore 2 e 2n2 contiene il fattore 2 un numero dispari di volte.

 

Quindi, ricapitolando:

  • m2 può contenere il fattore 2 o un numero pari di volte o può non contenerlo affatto;

  • n2 contiene il fattore 2 sempre un numero dispari di volte.

 

Quindi, abbiamo dimostrato che non potrà mai essere vero che 

m2 = 2n2.

 

 

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