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DISEQUAZIONI LOGARITMICHE: esempi di risoluzione

 

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo spiegato come si risolvono le DISEQUAZIONI LOGARITMICHE del tipo

loga f(x) ≥ loga g(x)

oppure

loga f(x) loga g(x).

 

Ora andremo ad applicare quanto detto risolvendo alcuni esercizi.

 

Esercizio 1:

log5 (2 - x) < log5 x.

 

Per prima cosa dobbiamo scrivere le CONDIZIONI DI ESISTENZA della disequazione, ovvero che gli argomenti dei due logaritmi siano maggiori di zero.

Esse sono:

2 - x > 0

e

x > 0.

 

Quindi, per risolvere la nostra disequazione dobbiamo risolvere una disequazione tra gli argomenti dei due logaritmi. Ora, dato che la loro base è 5, quindi un valore maggiore di 1, il verso della disequazione rimane lo stesso. Quindi dovremo risolvere la disequazione:

2 - x < x.

 

In pratica si tratterà di risolvere il seguente sistema:

Disequazioni logaritmiche

 

Eseguendo i calcoli avremo:

Disequazioni logaritmiche

 

Graficamente avremo:

Disequazioni logaritmiche

 

Quindi, la soluzione cercata è

1 < x < 2.

 

 

Esercizio 2:

log(1/3) (25 - x) ≤ log(1/3) (x - 5)

 

Cominciamo con lo scrivere le CONDIZIONI DI ESISTENZA della disequazione, ovvero che gli argomenti dei due logaritmi siano maggiori di zero.

Quindi

25 - x > 0

e

x - 5 > 0.

 

A questo punto, per risolvere la nostra disequazione, dobbiamo risolvere una disequazione tra gli argomenti dei due logaritmi. La base di questi logaritmi 1/3, quindi un valore compreso tra lo zero e l'uno: di conseguenza il verso della disequazione cambia. Quindi dovremo risolvere la disequazione:

25 - x ≥ x - 5.

 

In pratica si tratterà di risolvere il seguente sistema:

Disequazioni logaritmiche

 

Eseguendo i calcoli avremo:

Disequazioni logaritmiche

 

Graficamente avremo:

Disequazioni logaritmiche

 

Quindi, la soluzione cercata è

5 < x ≤ 15.

 

 

 

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