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DISEQUAZIONI LOGARITMICHE con un logaritmo ad un membro e lo zero all'altro membro 

 

 



Per comprendere  

 

Proseguiamo l'esame delle DISEQUAZIONI LOGARITMICHE.

In questa lezione ci occuperemo di quelle disequazioni nelle quali compaiono:

  • lo zero a secondo membro.

 

Esse si presentano nella forma

loga f(x) ≥ 0

oppure

loga f(x) 0.

 

Chiaramente: 

  • al posto del segno possiamo trovare anche soltanto il segno di >;

  • così come al posto del segno possiamo trovare anche soltanto il segno di <.

 

Andiamo ad esaminare la prima delle due disequazioni scritte: chiaramente il modo di procedere sarò lo stesso anche nel secondo caso.

La prima considerazione da fare è che l'ARGOMENTO di un LOGARITMO deve essere necessariamente MAGGIORE DI ZERO. Quindi sicuramente dovrà essere

f(x) > 0.

 

La seconda considerazione da fare è che noi sappiamo che il LOGARITMO dell'UNITA' è sempre uguale a ZERO. Cioè:

loga 1 = 0.

Questo significa che noi possiamo scrivere la nostra disequazione come

loga f(x) ≥ loga 1.

 

Come già abbiamo visto nelle lezioni precedenti (a cui si rimanda per una spiegazione più dettagliata), a questo punto entra in gioco la base a:

  • se a > 1 andremo a risolvere la disequazione tra gli argomenti dei logaritmi avente lo STESSO VERSO;

  • se 0 < a < 1 andremo a risolvere la disequazione tra gli argomenti dei logaritmi, avente VERSO CONTRARIO a quella fra i logaritmi.

 

Quindi, ricapitolando:

  • se a > 1 andremo a risolvere il sistema:

Risoluzione disequazioni logaritmiche

 

  • se 0 < a < 1 andremo a risolvere il sistema:

Risoluzione disequazioni logaritmiche

 

Esempio:

log(1/5) (4x+2) < 0.

 

La nostra disequazione può essere scritta come

log(1/5) (4x+2) < log(1/5) 1.

 

A questo punto possiamo risolvere.

Prima di tutto bisogna porre la condizione di esistenza, ovvero che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero, ovvero

4x + 2 > 0.

 

Poi dovremo risolvere la disequazione tra gli argomenti dei logaritmi. Dato che la base è compresa tra 0 e 1 dovremo cambiare il verso della disequazione, e scriveremo: 

4x + 2 < 1.

 

Il sistema da risolvere sarà, quindi:

Risoluzione disequazioni logaritmiche

 

da cui avremo:

Risoluzione disequazioni logaritmiche

 

Graficamente avremo:

Risoluzione disequazioni logaritmiche

 

La soluzione cercata è data dalle 

x > 1/4.

 

 

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