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DISEQUAZIONI LOGARITMICHE risolvibili mediante i teoremi sui logaritmi

 

 



Per comprendere  

 

In questa lezione andremo a vedere alcune DISEQUAZIONI LOGARITMICHE che possono essere ricondotte, mediante l'applicazione dei TEOREMI sui LOGARITMI, ad una delle forme viste nelle precedenti due lezioni, ovvero

loga f(x) ≥ loga g(x)

oppure

loga f(x) loga g(x).

 

Partiamo dal primo caso.

Immaginiamo di avere una disequazione del tipo:

loga f(x) -  loga g(x) ≥ loga h(x)

oppure

loga f(x) -  loga g(x) loga h(x).

 

Esaminiamo la prima delle due disequazioni scritte. Ovviamente le considerazioni che faremo varranno, di pari passo, anche per la seconda.

Per il TEOREMA sul RAPPORTO DI DUE LOGARITMI possiamo scrivere la disequazione:

loga f(x) -  loga g(x) ≥ loga h(x)

nel modo seguente

loga [f(x)/ g(x)] ≥ loga h(x).

 

In questo modo abbiamo ricondotto la nostra disequazione ad una forma a noi nota.

ATTENZIONE però, alle condizioni di esistenza da porre!!!! Dovremo, infatti, porre come condizione che gli argomenti dei logaritmi presenti nella disequazione di partenza siano tutti maggiori di zero

 

Esempio:

Disequazioni logaritmiche

Applicando il teorema sul rapporto dei logaritmi scriviamo:

Disequazioni logaritmiche

 

Quindi, il sistema che dobbiamo risolvere è il seguente:

Disequazioni logaritmiche

 

Andiamo a risolvere:

Disequazioni logaritmiche

Andiamo a risolvere l'ultima disequazione.

Disequazioni logaritmiche

 

Studiamo il segno della frazione.

Numeratore:

24 - x > 0

-x > -24

x < 24.

 

Denominatore:

x - 5 > 0

x > 5.

 

Segno della frazione:

Disequazioni logaritmiche

 

Soluzioni della disequazione:

x < 5 e x > 24.

 

Torniamo al nostro sistema:

Disequazioni logaritmiche

Graficamente avremo:

Disequazioni logaritmiche

La soluzione della disequazione logaritmica è

24 < x < 25.

 

 

Passiamo ad esaminare un secondo caso.

Immaginiamo di avere una disequazione del tipo:

loga f(x) +  loga g(x) ≥ loga h(x)

oppure

loga f(x) +  loga g(x) loga h(x).

 

Andiamo a guardare cosa accade con la prima delle due disequazioni scritte. Ovviamente le considerazioni che faremo varranno, di pari passo, anche per la seconda.

Per il TEOREMA sul PRODOTTO DI DUE LOGARITMI possiamo scrivere la disequazione:

loga f(x) +  loga g(x) ≥ loga h(x)

nel modo seguente

loga [f(x) · g(x)] ≥ loga h(x).

 

In questo modo abbiamo ricondotto la nostra disequazione ad una forma a noi nota.

ATTENZIONE però, anche in questo caso, alle condizioni di esistenza da porre!!!! Dovremo, infatti, porre come condizione che gli argomenti dei logaritmi presenti nella disequazione di partenza siano tutti maggiori di zero

 

Esempio:

Disequazioni logaritmiche

Applicando il teorema sul prodotto dei logaritmi scriviamo:

Disequazioni logaritmiche

 

Quindi, il sistema che dobbiamo risolvere è il seguente:

Disequazioni logaritmiche

 

Andiamo a risolvere:

Disequazioni logaritmiche

 

 

Andiamo a risolvere l'ultima disequazione

x2 - 2x - 1 < 0

Disequazioni logaritmiche

 

La soluzione della disequazione è

Disequazioni logaritmiche

 

Torniamo al nostro sistema:

Disequazioni logaritmiche

Graficamente avremo:

Disequazioni logaritmiche

 

La soluzione della disequazione logaritmica quindi è

Disequazioni logaritmiche

 

 

 

Concludiamo prendendo in esame un ultimo caso. Una disequazione del tipo:

loga f(x) -  loga g(x) ≥ loga h(x) + loga i(x)

oppure

loga f(x) -  loga g(x) loga h(x) + loga i(x).

 

Soffermiamoci sulla prima.

Per quanto abbiamo detto sopra è evidente che essa potrà essere scritta nel modo seguente:

loga [f(x)/ g(x)] ≥ loga [h(x) · i(x)].

 

A questo punto andrà risolta come abbiamo visto in precedenza.

 

 

 

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