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EQUAZIONI RECIPROCHE di PRIMA SPECIE di TERZO GRADO

 

Per approfondire  

 

Nella lezione dedicata alle EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE di TERZO GRADO abbiamo detto che esse ammettono sempre come radice:

x = -1.

 

Ora cerchiamo di comprenderne il perché.

Iniziamo col ricordare che un'EQUAZIONE si dice RECIPROCA DI PRIMA SPECIE quando i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI  e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono UGUALI.

 

Quindi un'EQUAZIONE RECIPROCA DI PRIMA SPECIE DI TERZO GRADO si presenta nel modo seguente:

ax3 + bx2 + bx + a  = 0.

 

Per dimostrare che una delle radici è sempre 

x = -1

iniziamo con l'effettuare un RACCOGLIMENTO A FATTORE COMUNE PARZIALE mettendo in evidenza a e bx:

a (x3 +1 ) + bx (x + 1)  = 0.

 

Ora osserviamo che

x3 +1

 

è la SOMMA DI DUE CUBI. Essa è scomponibile nel modo seguente:

x3 + 13 = (x + 1) (x2 -1x +12) = (x + 1) (x2 -x +1).

 

Torniamo alla nostra equazione

a (x3 +1 ) + bx (x + 1)  = 0

 

e sostituiamo

x3 + 1

con

(x + 1) (x2 -x +1).

 

Avremo:

a (x3 +1 ) + bx (x + 1)  = 0

a (x + 1)(x2 -x +1) + bx (x + 1) = 0.

 

Ora mettiamo in evidenza (x + 1):

(x + 1) [a (x2 -x +1) + bx] = 0

(x + 1) [ax2 -ax +a + bx] = 0

(x + 1) [ax2 +x (b-a) +a] = 0.

 

In questo modo abbiamo scomposto il polinomio di partenza nel prodotto di due polinomi: uno di essi è

x + 1.

Questo significa che il polinomio ammette come radice 

x = -1.

Infatti noi sappiamo che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.

 

 

 

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