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EQUAZIONE dell'ELLISSE dati l'ECCENTRICITA' ed un PUNTO

 

 

Per comprendere  

 

In questa lezione vedremo, brevemente, come si può determinare l'EQUAZIONE di un'ELLISSE quando conosciamo la sua ECCENTRICITA' e le coordinate di un PUNTO per il quale essa passa.

Ipotizziamo che:

e = k

P (x1; y1).

 

Per poter risolvere questo tipo di problemi è però necessario sapere anche se i fuochi sono situati sull'asse delle ascisse o su quello delle ordinate.

Vediamo come occorre procedere.

Per prima cosa sostituiamo, all'equazione canonica dell'ellisse  

Equazione canonica dell'ellisse

le coordinate del punto P in modo da trovare il valore dell'equazione quando passa per tale punto. Essa sarà:

Equazione dell'ellisse nel punto P

 

Noi conosciamo l'eccentricità e sappiamo che 

e = c/a - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ascisse

e = c/b - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ordinate.

 

Per questo è importante che il problema ci dica su quale asse si trovano i fuochi, in modo che noi sappiamo quale delle due relazioni considerare.

Inoltre noi sappiamo che

c2 = a2 - b2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ascisse

c2 = b2 - a2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ordinate.

 

Ora, elevando entrambi i membri nella formula dell'eccentricità, possiamo scrivere che:

e2 = c2/a2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ascisse

e2 = c2/b2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ordinate.

 

Da cui sostituendo a numeratore il valore di c2, avremo:

e2 = (a2 - b2)/a2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ascisse

e2 = (b2 - a2)/b2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ordinate.

 

Ma poiché il problema ci dice che 

e = k

possiamo scrivere che 

e2  = k2 

e di conseguenza:

k2 = (a2 - b2)/a2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ascisse

k2 = (b2 - a2)/b2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ordinate.

 

 

A questo punto si tratterà di risolvere un sistema formato:

  • dall'equazione dell'ellisse passante per il punto P, ovvero

Equazione canonica dell'ellisse

 

  • da una delle due formule dell'eccentricità, a seconda di dove sono situati i fuochi. Cioè:

k2 = (a2 - b2)/a2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ascisse

k2 = (b2 - a2)/b2 - nel caso in cui i fuochi sono situati sull'asse delle ordinate.

 

A questo punto si tratta solamente di risolvere il sistema nei modi consueti.

 

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