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EQUAZIONE dell'ELLISSE dati il FUOCO ed un PUNTO

 

 

Per comprendere  

 

Vediamo come possiamo SCRIVERE l'EQUAZIONE di un'ELLISSE quando ci sono date le coordinate del FUOCO dell'ellisse e di un PUNTO per il quale essa passa.

 

Esempio: 

scrivere l'equazione canonica dell'ellisse con  fuoco F1 (1; 0) e passante per il punto P (1; 1).

 

 

Sappiamo che l'equazione dell'ellisse nella sua forma canonica è

Equazione canonica dell'ellisse

 

 

Quindi, per scrivere la nostra equazione, a noi serve sapere il valore di a2 e di b2.

Noi sappiamo che il fuoco ha coordinate del tipo

F (c; 0)

quindi possiamo dire che si tratta di un'ellisse con i FUOCHI situati sull'ASSE DELLE ASCISSE.

Di conseguenza, la relazione che lega a, b, e c sarà:

c2 = a2 - b2.

Sostituendo a c le coordinate del fuoco, avremo:

12 = a2 - b2

1 = a2 - b2.

 

Sappiamo, inoltre che l'ellisse passa per il punto 

P (1; 1).

In questo punto, l'equazione dell'ellisse assume i seguenti valori:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

Calcoliamo il minimo comune denominatore a primo membro:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

Ora moltiplichiamo primo e secondo membro per a2b2:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

A questo punto risolviamo il sistema formato da quest'ultima equazione e dall'equazione che esprime la relazione tra c, a e b:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

Dalla seconda equazione ricaviamo il valore di b2:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

Ora sostituiamo il valore di b2 trovato dalla seconda equazione, nella prima:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

Per risolvere la prima equazione, poniamo:

z = a2.

In questo modo la prima equazione diventa:

z2 - 3z + 1 = 0.

 

Da cui ricaviamo:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

Ora poiché abbiamo posto

z = a2

possiamo scrivere:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

Sostituiamo il valore di a nella seconda equazione del sistema:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

Il primo risultato non è ammissibile perché, come possiamo vedere dallo svolgimento dei calcoli, si tratta di un risultato negativo, e un quadrato non può mai assumere valore negativo:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

Quindi il risultato da prendere è il secondo b22 e di conseguenza, il valore di a2 da prendere in considerazione sarà a22.

 

Quindi, l'equazione della nostra ellisse è:

Equazione dell'ellisse dati il fuoco e un punto

 

 

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