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FUOCHI e SEMIASSI di un'ELLISSE

 

 

Per comprendere  

 

Vediamo ora come risolvere quei problemi nei quali conosciamo l'equazione dell'ellisse e vogliamo determinare i suoi FUOCHI, il SEMIASSE MAGGIORE e il SEMIASSE MINORE.

Esempio 1:

data l'ellisse di equazione

Equazione dell'ellisse

vogliamo determinare le coordinate dei fuochi e la misura del semiasse maggiore e minore.

 

Partiamo dai fuochi. Per poterne determinare le coordinate ci serve il valore di c

Ma la relazione che lega c ad a e b varia a seconda che i fuochi si trovino sull'asse delle ascisse o su quello delle ordinate.

Ora, essendo

a2 = 16

b2 = 9

è evidente che

a > b

quindi i fuochi si trovano sull'asse delle x.

A questo punto noi sappiamo che

a2 - c2 = b2.

da cui ricaviamo

 -c2 = b2- a2

c2 =  a2 - b2.

 

Sostituendo i valori di a2 e di b2 avremo:

c2 =  16 - 9

c2 =  7

c = ±2,65.

 

Quindi i due fuochi hanno coordinate:

F1 (2,65; 0)

F2 (-2,65; 0).

 

L'asse maggiore sappiamo essere uguale a 2a. Quindi:

a = 4

2a = 8.

 

L'asse minore sappiamo essere uguale a 2b. Quindi:

b = 3

2b = 6.

 

 

Vediamo un'altro esempio.

Esempio 2:

data l'ellisse di equazione

Equazione dell'ellisse

vogliamo determinare le coordinate dei fuochi e la misura del semiasse maggiore e minore.

Partiamo dai fuochi. Iniziamo col capire se essi sono situati sull'asse delle ascisse o su quello delle ordinate.

Dato che

b > a

i fuochi si trovano sull'asse delle y.

A questo punto noi sappiamo che

b2 - c2 = a2.

da cui ricaviamo

 -c2 = a2- b2

c2 =  b2 - a2.

 

Sostituendo i valori di a2 e di b2 avremo:

c2 =  25 - 4

c2 =  21

c = ±4,58.

 

Quindi i due fuochi hanno coordinate:

F1 (0; 4,58)

F2 (0; -4,58).

 

L'asse maggiore sappiamo essere uguale a 2b. Quindi:

b = 5

2b = 10.

 

L'asse minore sappiamo essere uguale a 2a. Quindi:

a = 2

2a = 4.

 

 

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