SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'ELLISSE PASSANTE PER DUE PUNTI
- L'ellisse
- Equazione dell'ellisse con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle x
- Equazione dell'ellisse con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle y
- Sistemi di equazioni di secondo grado
Vediamo come si risolvono i problemi nei quali viene chiesto di SCRIVERE l'EQUAZIONE di un'ELLISSE quando sono noti DUE PUNTI per i quali essa passa.
Esempio:
scrivere l'equazione canonica dell'ellisse passante per i punti
P1 (1;2)
P2 (2; 3).
L'equazione dell'ellisse nella sua forma canonica è
La nostra equazione potrebbe essere scritta anche nel modo che segue:
Ora iniziamo col porre
dove
α si legge alfa
e
β si legge beta.
Quindi, effettuando le opportune sostituzioni, l'equazione canonica dell'ellisse può essere scritta come segue:
Quando l'ellisse passa per il punto P1, poiché
x = 1
y = 2
l'equazione assume i seguenti valori:
α·(1)2 + β·(2)2 = 1
α + 4β = 1.
Quando l'ellisse passa per il punto P2, poiché
x = 2
y = 3
l'equazione assume i seguenti valori:
α·(2)2 + β·(3)2 = 1
4α + 9β = 1.
Ora, per trovare i valori di α e di β risolviamo un sistema formato dalle due equazioni scritte:
Ricaviamo α dalla prima equazione e la sostituiamo nella seconda:
Ora sostituiamo il valore di β nella prima equazione:
Ricordiamo che
Quindi possiamo scrivere:
Da cui ricaviamo i valori di a2 e b2:
Quindi, l'equazione cercata è:
