PRODOTTO DI MONOMI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Supponiamo di voler moltiplicare tra loro i seguenti tre monomi:

-2ab; 5a2; +3ab2.

Il PRODOTTO di due o più MONOMI si indica scrivendo i MONOMI UNO ACCANTO ALL'ALTRO, ciascuno racchiuso tra PARENTESI.

La nostra moltiplicazione, quindi, va scritta nel modo seguente:

(-2ab) (5a2) (+3ab2).

Ricordiamo che un MONOMIO è un PRODOTTO DI FATTORI rappresentati da NUMERI eLETTERE.

Quindi, ogni numero e ogni lettera che noi abbiamo scritto e un fattore del nostro prodotto.


prodotto di fattori numerici e letterali

Ora vedremo come questo prodotto può essere scritto in maniera diversa.



La PROPRIETA' COMMUTATIVA della MOLTIPLICAZIONE ci dice che CAMBIANDO L'ORDINE DEI FATTORI il PRODOTTO NON CAMBIA.

Allora cambiamo l'ordine dei fattori del nostro prodotto, mettendo dapprima tutti i fattori numerici e successivamente i fattori letterali. Avremo:

(-2ab) (5a2) (+3ab2)= (-2) (5) (+3) ab a2 ab2.



La PROPRIETA' ASSOCIATIVA della MOLTIPLICAZIONE ci dice che se al posto di ALCUNI FATTORI sostituiamo il LORO PRODOTTO il RISULTATO NON CAMBIA.

Allora sostituiamo ai fattori numerici il loro prodotto. Avremo:

(-2ab) (5a2) (+3ab2) = (-2) (5) (+3) ab a2 ab2 = (-30) ab a2 ab2.

Ora possiamo fare la stessa cosa con i fattori letterali e sostituire ad essi il loro prodotto.

Per eseguire tale prodotto dobbiamo ricordare la proprietà delle potenze che dice che il PRODOTTO di POTENZE AVENTI LA STESSA BASE è una potenza che ha per base la STESSA BASE e per esponente la SOMMA DEGLI ESPONENTI.

Osserviamo allora il nostro prodotto

(-30) ab a2 ab2.

Per tre volte viene ripetuto il fattore a, seppure con esponenti diversi. Mentre per due volte viene ripetuto il fattore b, anch'esso con esponenti diversi.

Moltiplichiamo tra loro le potenze aventi la stessa base. Partiamo dalla a. Dobbiamo eseguire il seguente prodotto

(a)(a2)(a).

Questo prodotto è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base a e per esponente la somma degli esponenti, cioè 1 + 2 + 1 = 4. Ricordiamo, infatti, che quando in una potenza l'esponente non compare è come se avessimo elevato la base alla prima, quindi l'esponente è 1. Perciò avremo:

(a)(a2)(a) = a1+2+1 = 4 = a4.

Di conseguenza il nostro prodotto diventa

(-30) ab a2 ab2 = (-30) a4bb2.

Ora facciamo la stessa cosa con le potenze aventi come base b.

Dobbiamo eseguire il seguente prodotto

(b) (b2).

Questo prodotto è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base b e per esponente la somma degli esponenti, cioè 1 + 2 = 3. Quindi avremo:

(b) (b2) = b1+2 = 3 = b3.

Quindi il nostro prodotto diventa

(-30) a4b3.

Ora osserviamo bene il nostro prodotto di partenza e il risultato ottenuto

(-2ab) (5a2) (+3ab2) = -30a4b3.



Possiamo notare che il PRODOTTO dei nostri monomi è un MONOMIO che ha per COEFFICIENTE il PRODOTTO DEI COEFFICIENTI e per PARTE LETTERALE il PRODOTTO DEI FATTORI LETTERALI: ogni fattore letterale è presente nel prodotto con un ESPONENTE pari alla SOMMA DEGLI ESPONENTI con i quali figura nei singoli monomi.



Verifichiamo quanto detto:

(-2ab) (5a2) (+3ab2)

MONOMIO COEFFICIENTE PARTE LETTERALE
-2ab -2 ab
5a2 5 a2
+3ab2 +3 ab2
  (-2) (5) (+3) = -30 (a) (a2)(a) = a1+2+1=4 = a4

(b) (b2) = b1+2=3 = b3

-30a4b3


Ogni volta che dobbiamo moltiplicare tra loro due o più monomi possiamo applicare la seguente regola: il PRODOTTO di due o più monomi è un MONOMIO che ha per COEFFICIENTE il PRODOTTO DEI COEFFICIENTI e per PARTE LETTERALE il PRODOTTO DEI FATTORI LETTERALI. Ogni fattore letterale è presente nel prodotto con un ESPONENTE pari alla SOMMA DEGLI ESPONENTI con i quali figura nei singoli monomi.



Vediamo un altro esempio.

(-2x3y) (-4x2y) (-x)

MONOMIO COEFFICIENTE PARTE LETTERALE
-2x3y -2 x3y
-4x2y -4 x2y
-x -1 x
  (-2) (-4) (-1) = -8 (x3)(x2)(x) = x3+2+1=6 = x6

(y) (y) = y1+1=2 = y2

-8x6y2


 
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