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ESISTENZA e CALCOLO delle MATRICI INVERSE

 

Per comprendere  

 

In una precedente lezione abbiamo introdotto il concetto di MATRICE INVERSA e abbiamo detto che, data la MATRICE QUADRATA A, la sua MATRICE INVERSA è la matrice B tale che, se moltiplichiamo la matrice A per B o moltiplichiamo la matrice B per A otteniamo la MATRICE IDENTITA'.

Abbiamo, inoltre convenuto di indicare la MATRICE INVERSA di A con A-1.

 

Inoltre abbiamo detto che NON è detto che ESISTA SEMPRE la MATRICE INVERSA di A, e se esiste essa è UNICA. Ora vedremo quando essa esiste e, se esiste, come calcolarla.

 

Iniziamo dal primo punto: quando esiste l'inversa di una matrice quadrata?

Condizione necessaria e sufficiente affinché una MATRICE QUADRATA A AMMETTA INVERSA è che il DETERMINANTE di A NON sia NULLO. Ovvero

Determinante di A diverso da zero 

 

Vediamo perché il fatto che il DETERMINANTE di A NON sia NULLO rappresenta la CONDIZIONE NECESSARIA affinché la matrice A abbia un'INVERSA.

Per definizione abbiamo che:

A · A-1 = I.

Ora calcoliamo il determinante dei due MEMBRI, ovvero:

  • il determinante di A · A-1 

  • e il determinante di I.

Avremo:

det (A · A-1) = det I.

 

Per le proprietà dei determinanti che abbiamo visto in precedenza sappiamo che il determinate del prodotto di due matrici è uguale al prodotto del determinante della prima matrice per il determinante della seconda matrice, quindi

det (A · A-1) = det A · det A-1 = det I.

 

Sappiamo anche che il determinante della matrice identità è uguale ad 1. Quindi possiamo scrivere:

det (A · A-1) = det A · det A-1 = 1.

 

Per la legge di annullamento del prodotto il prodotto di due fattori è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.

Quindi, condizione necessaria affinché

det A · det A-1 = 1

è che entrambi i determinanti siano diversi da zero.

Pertanto, affinché la matrice quadrata A abbia un'INVERSA è necessario che 

Determinante di A diverso da zero.

 

Ora vediamo perché il fatto che il DETERMINANTE di A NON sia NULLO rappresenta la CONDIZIONE SUFFICIENTE affinché la matrice A abbia un'INVERSA.

Partiamo dalla seguente uguaglianza:

A · Agg A = Agg A · A = det A · I

che abbiamo visto quando abbiamo parlato delle matrici aggiunte.

 

Se il DETERMINANTE di A è NON NULLO possiamo moltiplicare la nostra uguaglianza per

1 diviso determinante di A

Avremo:

Esistenza della matrice inversa di A

 

Poiché in un prodotto, cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia, scriveremo:

 

Esistenza della matrice inversa di A

 

Semplifichiamo, dove possibile:

 

Esistenza della matrice inversa di A

Ora dividiamo tutto per A:

Esistenza della matrice inversa di A

e semplifichiamo:

Esistenza della matrice inversa di A

Quindi possiamo dire che:

Esistenza della matrice inversa di A

Poiché

A · A-1 = I

possiamo sostituire, nell'uguaglianza precedente, alla matrice  I il prodotto di A per la sua INVERSA. Avremo:

Esistenza della matrice inversa di A

 

Semplifichiamo ancora ed otteniamo:

Esistenza della matrice inversa di A

che equivale a scrivere:

Esistenza della matrice inversa di A

 

Quindi la matrice A ammette una matrice inversa, data dal PRODOTTO tra la FRAZIONE, che ha al NUMERATORE 1 e al DENOMINATORE il DETERMINANTE di A, e  l'AGGIUNTA di A.

Abbiamo così trovato anche un primo metodo di calcolo della matrice inversa di A. Basta calcolare l'AGGIUNTA di A e DIVIDERE ogni suo elemento per il DETERMINANTE di A.

Tuttavia, questo modo di procedere è un po' laborioso, per questo nella prossima lezione vedremo un altro metodo per calcolare la matrice inversa di A.

 

 

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