POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO ALL'IPERBOLE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Supponiamo di avere l'IPERBOLE di equazione

Equazione canonica dell'iperbole

e supponiamo di avere la RETTA di equazione.

y = mx + n.



Ora ci chiediamo se esistono dei PUNTI di INTERSEZIONE tra l'iperbole e la retta.

Per rispondere alla nostra domanda dobbiamo mettere a sistema l'equazione dell'iperbole con quella della retta e cercare quei punti, se ci sono, che sono comuni ad entrambi. Quindi avremo:

Punti di intersezione tra l'iperbole e la retta



Per risolvere il sistema è necessario sostituire l'equazione della retta in quella dell'iperbole.

In questo modo si otterrà un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO ad un'incognita (la x) che si risolve applicando la formula

Formula risolutiva equazione di secondo grado



In questo modo si potranno verificare due situazioni diverse:

  1. l'equazione risolvente è di SECONDO GRADO. In questo caso si possono avere tre casi diversi:
    • La RETTA è ESTERNA rispetto all'IPERBOLE.

      La retta e l'iperbole non si incontrano in nessun punto, quindi non hanno nessun punto in comune.

      Questo caso si verifica quando, il sistema visto sopra, non ammette soluzioni, cioè quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è negativo.

      Δ < 0

      Retta esterna all'iperbole



    • La RETTA è TANGENTE rispetto all'IPERBOLE

      In altre parole la retta e l'iperbole hanno un solo punto in comune.

      Questo caso si verifica quando, il sistema visto sopra, ammette una sola soluzione,cioè quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è uguale a zero.

      Δ = 0

      Retta tangente all'iperbole



      In questo caso, una volta trovato il valore della x con la formula risolutiva, basta sostituirlo nell'equazione della retta per avere anche il valore della y.

      I valori della x e della y trovati sono le coordinate del punto di intersezione P.

    • La RETTA è SECANTE rispetto all'IPERBOLE in DUE PUNTI.

      In altre parole la retta e l'iperbole hanno due punti in comune.

      Questo caso si verifica quando, il sistema visto sopra, ammette due soluzioni, cioè quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è maggiore di zero.

      Δ > 0

      Retta tangente all'iperbole in due punti





      In questo caso, una volta trovati i valori x1 e x2 con la formula risolutiva, basta sostituirli nell'equazione della retta per avere anche il valore di y1 e di y2.

      Le coordinate dei due punti di intersezione saranno

      P1(x1 ; y2)

      P2(x2 ; y2).

  2. l'equazione risolvente è di PRIMO GRADO.

    In questo caso vi è una sola soluzione:

    Retta secante all'iperbole in un punto

    La RETTA è SECANTE rispetto all'IPERBOLE in UN SOLO PUNTO

    In altre parole la retta e l'iperbole hanno un solo punto in comune.

    La retta sarà, in questo caso, PARALLELA ad uno degli ASINTOTI.


Esempio:

determinare i punti di intersezione, se esistono, tra la retta di equazione

y = x - 3



e l'iperbole di equazione

Equazione dell'iperbole



Mettiamo a sistema l'equazione dell'iperbole e quella della retta:



Ricerca dei punti di intersezioni tra retta ed iperbole

Sostituiamo la seconda equazione nella prima e risolviamo:

Ricerca dei punti di intersezioni tra retta ed iperbole



Andiamo a vedere il valore assunto dal discriminante della prima equazione:

Δ = b2- 4ac

Δ = (-902)- 4 · 9 · 225 = 8100 - 8100 = 0.



Poiché

Δ = 0

il sistema ammette una sola soluzione, il che significa che la retta ètangente all'iperbole.



Ora andiamo a cercare il punto di intersezione. Troviamo l'ascissa di tale punto



Formula risolutiva equazione di secondo grado



Ricerca dei punti di intersezioni tra retta ed iperbole



L'ascissa del punto da noi cercato è 5.



Ora sostituiamo all'equazione della retta il valore di x appena trovato in modo da determinare il valore dell'ordinata:



y = x - 3

y = 5 - 3

y = 2.



L'ordinata del nostro punto è 2.



Quindi il punto di tangenza tra la retta e l'iperbole è



P (5; 2).

 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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