RETTA TANGENTE ALL'IPERBOLE E PASSANTE PER UN PUNTO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto quali posizioni può assumere una retta rispetto ad un'iperbole. In questa lezione vedremo come si può trovare l'EQUAZIONE della RETTA TANGENTE all'IPERBOLE e condotta per un DATO PUNTO.



Esempio:

scrivere l'equazione della retta tangente all'iperbole



Retta tangente all'iperbole



e passante per il punto P(5;-3).



Per risolvere un problema di questo tipo iniziamo con lo scrivere il FASCIO di RETTE PROPRIO passante per il punto P:



y - y0 = m (x - x0).



Sostituiamo ad x0 e y0 le coordinate del punto P:

y + 3 = m (x - 5).



Ricaviamo il valore della y

y = m (x - 5) - 3



y= mx - 5m - 3.



Ora prendiamo l'equazione dell'iperbole



Ricerca della retta tangente all'iperbole



e sostituiamo il valore della y ottenuta dal fascio di rette passante per P. Avremo:



Ricerca della retta tangente all'iperbole



Eseguiamo i calcoli:



Ricerca della retta tangente all'iperbole



Ordiniamo l'equazione rispetto alla x:



Ricerca della retta tangente all'iperbole



Ora poniamo la condizione

Δ = 0.



Infatti, solamente quando il discriminante è uguale a zero la retta è tangente all'iperbole. Avremo:



b2 - 4ac = 0

(10m2 + 6m)2 - 4 (1-m2) (-25m2 -30m -25) = 0

100m4 + 36m2 + 120m3 - 4 (-25m2 -30m -25 + 25m4 + 30m3 +25m2) = 0

100m4 + 36m2 + 120m3 + 100m2 + 120m + 100 - 100m4 - 120m3 -100m2 = 0

100m4 + 36m2 + 120m3 + 100m2 + 120m + 100 - 100m4 - 120m3 - 100m2 = 0

36m2 + 120m + 100 = 0.



Troviamo il valore di m:



Ricerca della retta tangente all'iperbole



Sostituiamo il valore di m, appena trovato, nel fascio di rette passante per il punto P:

y= mx - 5m - 3



Ricerca della retta tangente all'iperbole



Abbiamo così trovato l'equazione della retta passante per il punto P e tangente all'iperbole.

 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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