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DISEQUAZIONI IRRAZIONALI con DUE o più RADICALI

 

Per comprendere  

 

In questa lezione andremo a vedere come possiamo risolvere le DISEQUAZIONI IRRAZIONALI quando in esse sono presenti due o più radicali.

Ovviamente la disequazione potrà presentarsi sotto varie forme. Vediamone alcune.

 

Primo caso. La disequazione si presenta nel modo seguente:

Disequazioni con più radicali

 

Qui bisogna distinguere due ipotesi:

  • n è PARI.

    Affinché la nostra disequazione possa essere risolta bisogna porre come condizione che i due RADICANDI siano POSITIVI o UGUALI a ZERO.

    Poste queste due condizioni possiamo andare ad ELEVARE entrambi i membri della disequazione alla ennesima potenza.

    In altre parole si tratta di risolvere il seguente sistema

    Disequazioni con più radicali

 

Facciamo ora due osservazioni.

Supponiamo che il SEGNO della disequazione sia MAGGIORE (>).

Se B(x) è positivo, e A(x) è maggiore di B(x), allora senz'altro anche A(x) sarà maggiore di zero. Quindi la prima disequazione può essere omessa e si può risolvere semplicemente il sistema

Disequazioni con più radicali

 

Esaminiamo ora il caso in cui il SEGNO della disequazione è MINORE (<).

Se A(x) è positivo, e A(x) è minore di B(x), allora senz'altro anche B(x) sarà maggiore di zero. Quindi la seconda disequazione può essere omessa e si può risolvere semplicemente il sistema

Disequazioni con più radicali

 

  • n è DISPARI.

Non c'è bisogno di porre particolari condizioni dato che i RADICANDI potranno essere POSITIVI,  NEGATIVI o UGUALI a ZERO.

Sarà, quindi, sufficiente ELEVARE entrambi i membri della disequazione alla ennesima potenza.

In altre parole si tratta di risolvere la disequazione

 

Disequazioni con più radicali

 

 

Esempio:

Disequazioni con più radicali

Poiché n è dispari (n = 3) sarà sufficiente elevare primo e secondo membro alla terza e risolvere la seguente disequazione

Disequazioni con più radicali

 

Effettuando i calcoli vedremo che la soluzione è

-1< x < 3.

 

 

 

Secondo caso. La disequazione si presenta nel modo seguente:

Disequazioni con più radicali

E' evidente che, spostando la radice ennesima di B(x) a secondo membro e cambiandogli di segno, ci ritroveremo nel caso visto in precedenza:

Disequazioni con più radicali

 

Esempio:

Disequazioni con più radicali

Portiamo il secondo radicale a secondo membro e gli cambiamo di segno:

Disequazioni con più radicali

Poiché n è pari (n = 2) e il segno della disequazione è minore (<) dovremo risolvere il sistema

Disequazioni con più radicali

la cui soluzione è

x ≥ 0.

 

 

 

Terzo caso. La disequazione contiene più di due radicali, ad esempio

Disequazioni con più radicali

 

La risoluzione di questo tipo di disequazioni richiede dei calcoli piuttosto lunghi e complessi. Per semplicità quindi, ipotizzeremo che n sia uguale a 2, anche perché generalmente negli esercizi raramente si prendono in considerazioni indici superiori al 2. 

Quindi la disequazione che andremo ad esaminare è la seguente:

Disequazioni con più radicali

Notiamo che uno dei radicali ha SEGNO NEGATIVO.

Esempio:

Disequazioni con più radicali

 

Vediamo come procedere:

  1. per prima cosa bisogna porre le CONDIZIONI DI ESISTENZA della disequazione. Infatti, poiché tutti e tre i radicali hanno indice pari, è necessario che i RADICANDI siano tutti maggiori o uguali a zero. Questo significa risolvere un sistema nel quale avremo tre disequazioni ognuna delle quali pone la condizione che un radicando sia positivo o uguale a zero.

Disequazioni con più radicali

Disequazioni con più radicali

Disequazioni con più radicali

La soluzione del sistema è 

x ≥ 2

 

  1. A questo punto dobbiamo ISOLARE un radicale, cioè portare un radicale a secondo membro. Questo passaggio è necessario per poter semplificare la disequazione. Infatti, nel momento in cui andiamo ad elevare al quadrato primo e secondo membro è preferibile dover calcolare il quadrato di un binomio a primo membro e il quadrato di una radice quadrata a secondo membro (radice quadrata che così scompare) piuttosto che fare la radice quadrata di un trinomio a primo membro.

Nell'isolare uno dei radicali è preferibile SPOSTARE all'ALTRO MEMBRO il radicale con segno negativo  in modo da cambiargli di segno e trovarci con tre radicali tutti di segno positivo. Perché è necessario questo passaggio? 

Essendo le radici quadrate, il radicando deve essere positivo o uguale a zero e una volta estratte le tre radici abbiamo sempre tre valori positivi. 

Ora, se noi andassimo a spostare a secondo membro un radicale avente segno positivo, potremmo avere questa situazione:

Disequazioni con più radicali

In altre parole, avremmo a primo membro la differenza di due valori positivi, che potrà essere sia positiva che negativa, e a secondo membro un valore negativo.

Se a primo membro avessimo un valore positivo, esso non potrebbe essere minore di uno negativo. Quindi, per risolvere la disequazione dovremmo porre come ulteriore condizione che il primo membro sia negativo.

Il problema, invece, non si porrebbe se il segno della disequazione fosse maggiore dato che, un valore positivo e senz'altro maggiore di uno negativo, ma vi possono essere anche valori negativo maggiori di altri.

Noi, però, per evitare di rendere ancora più complessa la cosa, suggeriamo sempre di spostare il termine negativo all'altro membro.

Tornando al nostro esempio avremo:

Disequazioni con più radicali

 

  1. ELEVIAMO primo e secondo membro al QUADRATO. In uno dei due membri il segno di radice sparirà, mentre nell'altro dovremo risolvere il quadrato di un binomio:

Disequazioni con più radicali

 

  1. A questo punto non resta che eseguire i calcoli fino a quando non giungiamo ad una delle FORME che abbiamo esaminato in precedenza, ovvero un radicale a primo membro e lo zero a secondo membro oppure un radicale a primo membro ed una costante a secondo membro o ancora  un radicale a primo membro e un polinomio a secondo membro.

Disequazioni con più radicali

Nel nostro caso abbiamo ricondotto la disequazione alla forma 

Disequazioni con più radicali

 

  1. Ora dovremo andare a RISOLVERE la DISEQUAZIONE applicando le REGOLE proprie della forma trovata che noi abbiamo esaminato nelle precedenti lezioni.

Nel nostro esempio dovremo andare ad applicare le regole che abbiamo visto nel caso disequazioni irrazionali con una costante a secondo membro e segno di maggiore.

Poiché l'indice della radice è pari e k è positivo per risolvere la nostra disequazione dobbiamo impostare il sistema

Disequazioni con più radicali

Risolviamo:

Disequazioni con più radicali

 

Disequazioni con più radicali

 

Disequazioni con più radicali

Le soluzioni del sistema sono:

Disequazioni con più radicali

 

  1. Come ultima cosa dobbiamo andare a verificare che le SOLUZIONI TROVATE rispettino le CONDIZIONI DI ESISTENZA poste inizialmente.

Nel nostro caso la condizione di esistenza era:

x ≥ 2

E' evidente che soltanto la seconda soluzione soddisfa tale condizione. Quindi la soluzione della disequazione di partenza è:

Disequazioni con più radicali

 

Tra le disequazioni con più radicali vi sono anche quelle nelle quali i radicali hanno indici diversi, ma di esse parleremo nella prossima lezione.

 

 

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