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SISTEMI di DISEQUAZIONI FRAZIONARIE

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto quali sono le regole da applicare per risolvere un  SISTEMA DI DISEQUAZIONE di PRIMO GRADO.

 

In questa lezione vogliamo vedere un caso particolare di sistema di disequazioni, ovvero quello nel quale  una o più disequazioni del sistema sia riconducibile al seguente tipo:

 

Disequazioni fratte

 

Sappiamo che questo tipo di disequazione si dice DISEQUAZIONE FRATTA dato che l'INCOGNITA si trova al DENOMINATORE. 

 

Le regole da seguire sono sempre le stesse: sia per quanto riguarda la risoluzione delle disequazioni fratte che per quanto riguarda la soluzione del sistema. Tuttavia dobbiamo fare attenzione a non fare confusione. Vediamo il perché con un esempio. Supponiamo di dover risolvere il seguente sistema:

Esempio di soluzione di un sistema di disequazioni di primo grado

 

Iniziamo col risolvere la prima disequazione. Avremo:

x > 10/5

x > 2.

 

Ora passiamo a risolvere la seconda disequazione. Per risolvere questo tipo di disequazione è necessario STUDIARE il SEGNO DEL NUMERATORE e il SEGNO DEL DENOMINATORE e il SEGNO DELLA FRAZIONE.

Risolviamo separatamente il numeratore e il denominatore.

NUMERATORE: 

 

2x + 4 < 0

2x < -4

x < -4/2

x < -2

 

 e il DENOMINATORE: 

x -1 < 0

x < 1.

 

Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni fratte

 

Ricordiamo che:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;

  • la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;

  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;

  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

 

Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;

  • o

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.

 

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

 

Disequazioni fratte

 

Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -2 e +1. In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -2. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono negativa la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando 

-2 < x < +1

x compreso tra -2 e +1.

 

 

Ora torniamo al nostro sistema. Una volta risolte le due disequazioni esso diventa:

Soluzione di un sistema di disequazioni di primo grado

 

Ora andiamo a prendere le SOLUZIONI COMUNI ad ENTRAMBRE le disequazioni..

 

Per fare ciò, disegniamo la nostra RETTA ORIENTATA. Ricordiamo che per rappresentare graficamente le soluzioni delle due disequazioni si usano le seguenti convenzioni:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione (ATTENZIONE!!! In questo caso, a differenza di ciò che abbiamo visto nel caso precedente, non si usa la  linea tratteggiata per indicare i valori che non soddisfano la disequazione);

  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;

  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

 

Tornando al nostro esempio avremo:

Come si risolve un sistema di disequazioni di primo grado

 

Esaminiamo il grafico:

  • la prima disequazione è verificata per le x maggiori di 2. Tali valori sono indicati dalla linea continua. Il cerchietto vuoto sul valore 2 indica che esso non soddisfa la nostra disequazione;

  • la seconda disequazione è verificata per le x comprese tra -2 e 1. Tali valori sono indicati dalla linea continua. Il cerchietto vuoto su -2 e su 1 indica che tali valori non soddisfano la disequazione.

 

Ora dovremmo cercare i VALORI CHE SODDISFANO ENTRAMBE LE DISEQUAZIONI

Ma come possiamo notare nella parte del grafico contraddistinta dal colore giallo viene soddisfatta solamente la prima disequazione.

Nella parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, non viene soddisfatta nessuna disequazione.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde indica i valori che soddisfano solamente la seconda disequazione.

Infine nella parte del grafico contraddistinta dal colore viola, non viene soddisfatta nessuna disequazione.

Quindi, poiché non esistono valori di x che soddisfano entrambe le disequazioni il SISTEMA è IMPOSSIBILE.

 

Con questa lezione abbiamo voluto sottolineare la necessità di stare attenti a non confondere tra lo studio del segno di una disequazione e la soluzione di un sistema di disequazioni.

 

Lezione precedente

Indice argomenti su sistemi di disequazioni di primo grado

 

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