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RISOLVERE un SISTEMA DI EQUAZIONI

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto che si dice SOLUZIONE DEL SISTEMA ogni soluzione comune a tutte le equazioni date.

Come abbiamo già visto per le equazioni anche il sistema di equazioni potrà essere:

  • IMPOSSIBILE se non esistono soluzioni che soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema;

  • INDETERMINATO se esistono infinite soluzioni che soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema;

  • DETERMINATO se le soluzioni che soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema sono in numero limitato.

 

Per risolvere un sistema di equazioni può essere utile trasformarlo in un SISTEMA EQUIVALENTE

Due sistemi, aventi le stesse incognite, si dicono EQUIVALENTI quando tutte le SOLUZIONI DELL'UNO sono anche le SOLUZIONI DELL'ALTRO  e viceversa.

 

Per ognuna delle equazioni che formano il sistema valgono i due PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI. Di conseguenza se alle equazioni di un sistema sostituiamo delle equazioni equivalenti otteniamo un SISTEMA EQUIVALENTE a quello dato.

Ad esempio. Dato il sistema:

Sistemi equivalenti

 

dividiamo la prima equazione per 2 ed otteniamo una equazione equivalente a quella data, ovvero:

x + 1/2y = 1/2.

 

Ora nella seconda equazione portiamo il termine -y a secondo membro e abbiamo l'equazione equivalente:

x = -2 + y.

Il SISTEMA 

Sistemi equivalenti

è EQUIVALENTE a quello di partenza.

 

Spesso può essere utile scrivere le equazioni che formano il sistema in modo che i secondi membri siano uguali a zero. Ad esempio, il primo sistema scritto potrebbe essere indicato con il seguente sistema equivalente:

Sistemi equivalenti

 

Infine osserviamo che ogni sistema di equazioni può essere trasformato in un altro equivalente nel quale  compaiono solo equazioni intere liberando le equazioni dai denominatori. Ovviamente, così come abbiamo detto parlando delle equazioni frazionarie, anche in questo caso, una volta trovate le radici occorre verificare che esse non annullino l'espressione per la quale abbiamo moltiplicato i termini delle equazioni.

 

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