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Come si RISOLVE un SISTEMA di DISEQUAZIONI di PRIMO GRADO

 

Per comprendere  

 

In questa lezione vedremo quali sono le regole per la risoluzione dei SISTEMI DI DISEQUAZIONE di PRIMO GRADO.

 

Per RISOLVERE un SISTEMA DI DISEQUAZIONI di PRIMO GRADO occorre:

  1. RISOLVERE le DISEQUAZIONI del SISTEMA una per una.

  2. PRENDERE i VALORI dell'INCOGNITA che SODDISFANO CONTEMPORANEAMENTE tutte le disequazioni.

Questa seconda fase viene normalmente risolta con uno schema simile a quello usato per la rappresentazione delle soluzioni di una disequazione. Vediamo in pratica come fare.

Supponiamo di voler risolvere il seguente sistema:

 

Come si risolve un sistema di disequazioni di primo grado

Per prima cosa risolviamo le due disequazioni date, nei modi consuenti. Ricordiamo che dovranno applicarsi le regole per la risoluzione di disequazioni intere di primo grado. Pertanto avremo:

Come si risolve un sistema di disequazioni di primo grado

 

Una volta risolte le due disequazioni andiamo a prendere le SOLUZIONI COMUNI ad ENTRAMBE.

 

Per fare ciò, disegniamo la nostra RETTA ORIENTATA ricordando che una retta si dice orientata quando su di essa è FISSATO UN VERSO di PERCORRENZA. Noi lo indichiamo con una FRECCIA che indica il verso da sinistra verso destra.

Retta orientata

 

Tale retta rappresenta i NUMERI REALI.

 

Per rappresentare graficamente le soluzioni delle due disequazioni si usano le seguenti convenzioni:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione (ATTENZIONE!!! In questo caso, a differenza di ciò che accade per la rappresentazione delle soluzioni di una disequazione, non si usa la  linea tratteggiata per indicare i valori che non soddisfano la disequazione);

  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;

  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

 

Nel nostro esempio la soluzione sarebbe stata indicata così:

Come si risolve un sistema di disequazioni di primo grado

 

Esaminiamo il grafico:

  • la prima disequazione è verificata per le x maggiori di 1. Tali valori sono indicati dalla linea continua. Il cerchietto vuoto sul valore 1 indica che esso non soddisfa la nostra disequazione;

  • la seconda disequazione è verificata per le x maggiori di -3. Tali valori sono indicati dalla linea continua. Il cerchietto vuoto sul valore -3 indica che esso non soddisfa la disequazione.

 

Ora cerchiamo i VALORI CHE SODDISFANO ENTRAMBE LE DISEQUAZIONI. Per rendere più chiara la spiegazione abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi.

 

Come si risolve un sistema di disequazioni di primo grado

 

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -3. In questo intervallo nessuna delle due disequazioni è soddisfatta.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -3 e 1. In questo intervallo una sola disequazione è soddisfatta.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra 1 e più infinito. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono soddisfatte. Quindi la SOLUZIONE DEL SISTEMA è dato dalle x maggiori di 1.

 

Pertanto possiamo scrivere:

x > 1.

 

Nella prossima lezione vedremo come si applica, quanto abbiamo appreso in questa lezione, ai sistemi che comprendono disequazioni fratte.

 

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