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TEOREMA di PITAGORA: dimostrazione

 

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto un metodo per dimostrare il TEOREMA DI PITAGORA.

In questa lezione ne vedremo un altro.

Disegniamo un qualsiasi TRIANGOLO RETTANGOLO. Indicheremo i suoi lati con le lettere:

  • i ipotenusa;

  • c1 un cateto;

  • c2 l'altro cateto.

Teorema di Pitagora

 

Ora costruiamo DUE QUADRATI che abbiano come LATI le SOMME DEI DUE CATETI c1 e c2. Li chiamiamo rispettivamente  QA e QB:

Dimostrazione teorema Pitagora

 

QAe QB sono ISOPERIMETRICHE e CONGRUENTI.

 

Ora riportiamo sui lati dei due quadrati le misure dei cateti nel modo seguente (abbiamo indicato in  viola c1 e in verde c2):

 

Dimostrazione teorema Pitagora

 

 

Nel primo quadrato QA uniamo i punti che separano i segmenti c1 e c2 nel modo che segue:

Dimostrazione teorema Pitagora

 

E ritagliamo il quadrato ottenuto che chiamiamo Q1:

Dimostrazione teorema Pitagora

 

Ora esaminiamo i quattro triangoli che abbiamo ritagliato e che nella figura sopra abbiamo indicato con i numeri 1,2,3 e 4. Ognuno di essi ha come lati  c1 e c2, cioè i cateti del triangolo di partenza. Dallo studio dei triangoli, sappiamo che se DUE TRIANGOLI RETTANGOLI hanno i DUE CATETI CONGRUENTI, allora sono CONGRUENTI. Quindi i quattro triangoli disegnati sono congruenti tra loro e congruenti con il triangolo di partenza.

Di conseguenza, il LATO del quadrato Q1 non è altro che l'IPOTENUSA del triangolo dato.

 

Ora passiamo al secondo quadrato QB e uniamo i punti che separano i segmenti c1 e c2 nel modo seguente:

Dimostrazione teorema Pitagora

e ancora:

 

Dimostrazione teorema Pitagora

 

Ora ritagliamo i due quadrati ottenuti che indichiamo con Q2 e Q3:

Dimostrazione teorema Pitagora

Ora esaminiamo i quattro triangoli che abbiamo ritagliato e che nella figura sopra abbiamo indicato con i numeri 5, 6, 7 e 8. Ognuno di essi ha come lati  c1 e c2, cioè i cateti del triangolo di partenza. Come abbiamo già detto, se DUE TRIANGOLI RETTANGOLI hanno i DUE CATETI CONGRUENTI allora sono CONGRUENTI. Quindi i quattro triangoli disegnati sono congruenti tra loro e congruenti con il triangolo di partenza.

I due quadrati ottenuti Q2 e Q3, come è evidente dalla figura sopra, hanno come lati rispettivamente il cateto c1 e c2, cioè i cateti del triangolo di partenza.

 

Quindi, se al quadrato QA togliamo i triangoli 1, 2,3 e 4 otteniamo Q1. Cioè:

Q1 = QA - (1 + 2 + 3 + 4).

 

Se al quadrato QB togliamo i triangoli 5, 6, 7 e 8 otteniamo la somma di Q2 + Q3. Cioè:

Q2 + Q3 = QB - (5 + 6 + 7 + 8).

 

Abbiamo detto che:

  • i due quadrati QA e QB sono EQUIVALENTI;

  • i triangoli 1, 2, 3, 4 sono tutti CONGRUENTI tra loro e con il triangolo di partenza;

  • i triangoli  5, 6, 7 e 8 sono tutti CONGRUENTI tra loro e con il triangolo di partenza;

  • di conseguenza i triangoli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 sono tutti CONGRUENTI tra loro.

 

Dallo studio dell'area dei poligoni sappiamo che FIGURE che sono la SOMMA o la DIFFERENZA di PARTI RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI sono EQUIVALENTI.

Quindi essendo 

Q1 = QA - (1 + 2 + 3 + 4).

Q2 + Q3 = QB - (5 + 6 + 7 + 8).

ed essendo:

  • QA e QB EQUIVALENTI;

  • i triangoli 1, 2,3,4 , 5, 6, 7 e 8 CONGRUENTI tra loro

anche 

Q1 è CONGRUENTE con Q2+Q3.

 

Quindi abbiamo dimostrato che in OGNI TRIANGOLO RETTANGOLO, il QUADRATO costruito sull'IPOTENUSA è EQUIVALENTE alla SOMMA dei QUADRATI costruiti sui DUE CATETI.

 

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