TEOREMA DI PITAGORA: DIMOSTRAZIONE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto un metodo per dimostrare il TEOREMA DI PITAGORA.

In questa lezione ne vedremo un altro.

Disegniamo un qualsiasi TRIANGOLO RETTANGOLO. Indicheremo i suoi lati con le lettere:

  • i = ipotenusa;
  • c1 = un cateto;
  • c2 = l'altro cateto.

Teorema di Pitagora



Ora costruiamo DUE QUADRATI che abbiano come LATI le SOMME DEI DUE CATETI c1 e c2. Li chiamiamo rispettivamente QA e QB:

Dimostrazione teorema Pitagora



QAe QB sono ISOPERIMETRICHE e CONGRUENTI.



Ora riportiamo sui lati dei due quadrati le misure dei cateti nel modo seguente (abbiamo indicato in viola c1 e in verde c2):

Dimostrazione teorema Pitagora



Nel primo quadrato QA uniamo i punti che separano i segmenti c1 e c2 nel modo che segue:

Dimostrazione teorema Pitagora



E ritagliamo il quadrato ottenuto che chiamiamo Q1:

Dimostrazione teorema Pitagora



Ora esaminiamo i quattro triangoli che abbiamo ritagliato e che nella figura sopra abbiamo indicato con i numeri 1, 2, 3 e 4. Ognuno di essi ha come lati c1 e c2, cioè i cateti del triangolo di partenza. Dallo studio dei triangoli, sappiamo che se DUE TRIANGOLI RETTANGOLI hanno i DUE CATETI CONGRUENTI, allora sono CONGRUENTI. Quindi i quattro triangoli disegnati sono congruenti tra loro e congruenti con il triangolo di partenza.

Di conseguenza, il LATO del quadrato Q1 non è altro che l'IPOTENUSA del triangolo dato.



LA LEZIONE PROSEGUE SOTTO LA PUBBLICITA'

Ora passiamo al secondo quadrato QB e uniamo i punti che separano i segmenti c1 e c2 nel modo seguente:

Dimostrazione teorema Pitagora

e ancora:

Dimostrazione teorema Pitagora



Ora ritagliamo i due quadrati ottenuti che indichiamo con Q2 e Q3:

Dimostrazione teorema Pitagora

Ora esaminiamo i quattro triangoli che abbiamo ritagliato e che nella figura sopra abbiamo indicato con i numeri 5, 6, 7 e 8. Ognuno di essi ha come lati c1 e c2, cioè i cateti del triangolo di partenza. Come abbiamo già detto, se DUE TRIANGOLI RETTANGOLI hanno i DUE CATETI CONGRUENTI allora sono CONGRUENTI. Quindi i quattro triangoli disegnati sono congruenti tra loro e congruenti con il triangolo di partenza.

I due quadrati ottenuti Q2 e Q3, come è evidente dalla figura sopra, hanno come lati rispettivamente il cateto c1 e c2, cioè i cateti del triangolo di partenza.



Quindi, se al quadrato QA togliamo i triangoli 1, 2,3 e 4 otteniamo Q1. Cioè:

Q1 = QA - (1 + 2 + 3 + 4).



Se al quadrato QB togliamo i triangoli 5, 6, 7 e 8 otteniamo la somma di Q2 + Q3. Cioè:

Q2 + Q3 = QB - (5 + 6 + 7 + 8).



Abbiamo detto che:

  • i due quadrati QA e QB sono EQUIVALENTI;
  • i triangoli 1, 2, 3, 4 sono tutti CONGRUENTI tra loro e con il triangolo di partenza;
  • i triangoli 5, 6, 7 e 8 sono tutti CONGRUENTI tra loro e con il triangolo di partenza;
  • di conseguenza i triangoli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 sono tutti CONGRUENTI tra loro.

Dallo studio dell'area dei poligoni sappiamo che FIGURE che sono la SOMMA o la DIFFERENZA di PARTI RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI sono EQUIVALENTI.

Quindi essendo

Q1 = QA - (1 + 2 + 3 + 4).

Q2 + Q3 = QB - (5 + 6 + 7 + 8).

ed essendo:

  • QA e QB EQUIVALENTI;
  • i triangoli 1, 2,3,4 , 5, 6, 7 e 8 CONGRUENTI tra loro

anche

Q1 è CONGRUENTE con Q2+Q3.



Quindi abbiamo dimostrato che in OGNI TRIANGOLO RETTANGOLO, il QUADRATO costruito sull'IPOTENUSA è EQUIVALENTE alla SOMMA dei QUADRATI costruiti sui DUE CATETI.

 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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