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CARDINALITA' del PRODOTTO CARTESIANO

 

Per comprendere  

 

Ricordiamo che si definisce CARDINALITA' di un INSIEME FINITO il NUMERO DI ELEMENTI dell'insieme.

Sappiamo che, dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama PRODOTTO CARTESIANO di A e B,  l'insieme C formato da tutte le COPPIE ORDINATE tali che il primo elemento appartiene ad A ed il secondo elemento appartiene a B. Il che si scrive:

C = A x B

che si legge

C uguale A per B

 

Posto che i due insiemi A e B siano due INSIEMI FINITI, vogliamo chiederci qual è la CARDINALITA' dell'insieme AxB, cioè quanti sono gli elementi che compongono l'insieme AxB.

 

Facciamo qualche esempio:

A = {a} 1 elemento
B ={1} 1 elemento
AxB = {(a, 1)} 1 elemento

 

A = {a} 1 elemento
B ={1, 2} 2 elemento
AxB = {(a, 1), (a, 2)} 2 elemento

 

A = {a, b} 2 elemento
B ={1, 2} 2 elemento
AxB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} 4 elemento

 

A = {a, b} 2 elemento
B ={1, 2, 3} 3 elemento
AxB = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} 6 elemento

 

A = {a, b, c} 3 elemento
B ={1, 2, 3} 3 elemento
AxB = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) (c, 1) (c, 2), c(c, 3)} 9 elemento

 

Ricapitolando:

A 1 1 2 2 3
B 1 2 2 3 3
AxB 1 2 4 6 9

 

Notiamo che il NUMERO DI ELEMENTI del prodotto cartesiano AxB è uguale al PRODOTTO tra il NUMERO DI ELEMENTI di A e il NUMERO DI ELEMENTI di B.

 

Quindi possiamo dire che, se l'insieme A contiene m elementi e l'insieme B contiene n elementi, il prodotto cartesiano AxB contiene mn elementi. Quindi la sua CARDINALITA' è mn.

Allora se A e B sono due insiemi FINITI anche il loro PRODOTTO CARTESIANO è un insieme FINITO.

Invece, se uno dei due insiemi è INFINITO o lo sono entrambi, anche il loro PRODOTTO CARTESIANO è un insieme INFINITO.

 

 

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