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FUNZIONI COMPOSTE

 

 



Per comprendere  

 

Disegniamo tre insiemi:

  • l'insieme X, il cui generico elemento è x;

  • l'insieme Y, il cui generico elemento è y;

  • l'insieme Z, il cui generico elemento è z 

tali che, tutti e tre, siano sottoinsiemi impropri di R.

Funzioni composte

 

Ora indichiamo:

  • con f la relazione che associa ad ogni valore di x uno e un solo valore di y;

  • con g la relazione che associa ad ogni valore di y uno e un solo valore di z.

Graficamente avremo:

Funzioni composte

 

Ora indichiamo la FUNZIONE COMPOSTA 

h(x)

che si legge

h con x

 

ossia la RELAZIONE che ASSOCIA ad ogni valore di x uno e un solo valore di z. Graficamente avremo:

Funzioni composte

 

 

La FUNZIONE COMPOSTA h(x) si scrive anche 

g o f

che si legge

g dopo f

oppure

g applicata ad f

o ancora

g composta f.

 

 

 

In altre parole la funzione g applicata ad f

  • dato un valore di x, associa ad esso, mediante la relazione f, il corrispondente valore y;

  • quindi associa al valore di y trovato, mediante la relazione g, il corrispondente valore z.

 

Esempio:

f(x) = y = 3x

g(y) = z = y + 1

h(x) = g(f(x)) = z = 3x + 1.

In altre parole  h(x) è la funzione che otteniamo esprimendo la variabile z, anziché in funzione della variabile y, della variabile x. Quindi, in 

z = y + 1

sostituiamo al valore di y il valore 3x dato che

y = 3x.

 

 

Generalizzando possiamo dire che date due funzioni:

f(x)

e

g(x)

la FUNZIONE COMPOSTA

g o f = g(f(x))

ASSOCIA ad ogni x appartenente al campo di esistenza della prima funzione l'elemento g(f(x)).

Quindi le funzioni composte sono APPLICAZIONI nelle quali la relazione tra la VARIABILE INDIPENDENTE e la VARIABILE DIPENDENTE NON è IMMEDIATA, ma viene realizzata mediante SUCCESSIVE CORRISPONDENZE.

 

 

Esempio:

Date le funzioni

f (x) = x + 2

g(x) = 4x - 2

la funzione composta 

g o f = g(f(x))

si ottiene sostituendo nella funzione g la funzione f, ovvero:

f (x) = x + 2

g(x) = 4x - 2

g o f = 4(x+2) - 2 =

= 4x + 8 - 2 =

= 4x + 6.

 

Osserviamo che, in genere

g o f ≠ f o g.

Per questa ragione possiamo affermare che la COMPOSIZIONE DI FUNZIONI NON gode della PROPRIETA' COMMUTATIVA.

Torniamo all'esempio precedente. Abbiamo visto che 

g o f = 4x + 6.

 

Ora troviamo la funzione composta 

f o g = f(g(x)).

Essa si ottiene sostituendo nella funzione f la funzione g, ovvero:

f (x) = x + 2

g(x) = 4x - 2

f o g = 4x - 2 + 2 =

= 4x.

 

Invece la COMPOSIZIONE DI FUNZIONI gode della PROPRIETA' ASSOCIATIVA.

Esempio:

Date le funzioni

f (x) = x + 2

g(x) = 4x - 2

h(x) = x + 1

vogliamo dimostrare che 

h o (g o f) = (h o g) o f.

Iniziamo col trovare g o f sostituendo nella funzione g la funzione f, ovvero:

g o f = 4(x+2) - 2 =

= 4x + 8 - 2 =

= 4x + 6.

 

Ora troviamo h o ( g o f) sostituendo nella funzione h la funzione g o f, ovvero:

h o (g o f) = (4x + 6) +1 =

= 4x + 6 + 1 =

= 4x +7.

 

Adesso troviamo h o  g sostituendo nella funzione h la funzione g, ovvero:

h o g = (4x - 2) +1 =

= 4x - 2 + 1 =

= 4x -1.

Quindi troviamo (h o g) o f sostituendo nella funzione h o g la funzione f, ovvero:

(h o g) o f = 4(x + 2) - 1 =

= 4x + 8 - 1 =

= 4x +7.

 

Abbiamo dimostrato che 

h o (g o f) = (h o g) o f.

 

 

Una particolare attenzione bisogna porre al CAMPO DI ESISTENZA delle FUNZIONI COMPOSTE

Date le funzioni 

f (x) =  x + 2

g(x) = 1/x

 

Notiamo che la prima funzione ha come campo di esistenza tutto l'insieme dei numeri reali, mentre la seconda ha come campo di esistenza tutto l'insieme dei numeri reali ad eccezione dello zero.

La funzione 

g o f = 1/(x + 2)

ha come campo di esistenza tutte le x appartenenti ai reali ad eccezione di 

x = -2.

 

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