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COMPOSIZIONE di una funzione con la sua INVERSA

 

 



Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come, date due funzioni

f(x)

e

g(x)

la FUNZIONE COMPOSTA

g o f 

ASSOCIA ad ogni x appartenente al campo di esistenza della prima funzione l'elemento g(f(x)).

Inoltre, abbiamo visto che, data la funzione

f(x)

essa è invertibile se è INIETTIVA. In questo caso la funzione INVERSA 

 f-1(y) 

è la funzione che associa ad ogni elemento y  la sua controimmagine x.

 

Ora supponiamo di voler fare la COMPOSIZIONE della funzione f con la sua INVERSA  f-1. Qualunque sia la funzione data otterremo sempre la FUNZIONE IDENTITA'.

 

Esempio 1:

y = 4x - 1.

Calcoliamo la funzione inversa:

x = 4y - 1

-4y = -x -1

4y = x + 1

y = (x+1)/4.

 

Date le funzioni

f = 4x - 1

f-1 = (x+1)/4

 

troviamo la funzione

f o f-1 = 4[(x+1)/4] -1 =

= x +1 - 1 = 

= x.

Abbiamo ottenuto la funzione identità.

 

Ora troviamo la funzione

 f-1 o f = [4x-1+1] /4 =

= 4x/4 = 

x.

Anche in questo caso abbiamo ottenuto la funzione identità.

 

Nella lezione dedicata alle funzioni composte abbiamo detto che in genere, 

g o f ≠ f o g.

In altre parole, normalmente, la composizione di funzioni non gode della proprietà commutativa. Quella che abbiamo appena visto rappresenta l'unica eccezione.

 

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