COMPOSIZIONE DI UNA FUNZIONE CON LA SUA INVERSA
- Funzioni reali di variabile reale
- Funzioni composte
- Funzioni iniettive
- Funzioni inverse
- Funzione identità
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come, date due funzioni
f(x)
e
g(x)
g o f
ASSOCIA ad ogni x appartenente al campo di esistenza della prima funzione l'elemento g(f(x)).
Inoltre, abbiamo visto che, data la funzione
f(x)
essa è invertibile se è INIETTIVA. In questo caso la funzione INVERSA
f-1(y)
è la funzione che associa ad ogni elemento y la sua controimmagine x.
Ora supponiamo di voler fare la COMPOSIZIONE della funzione f con la sua INVERSA f-1. Qualunque sia la funzione data otterremo sempre la FUNZIONE IDENTITA'.
Esempio 1:
y = 4x - 1.
Calcoliamo la funzione inversa:
x = 4y - 1
-4y = -x -1
4y = x + 1
y = (x+1)/4.
Date le funzioni
f = 4x - 1
f-1 = (x+1)/4
troviamo la funzione
f o f-1 = 4[(x+1)/4] -1 =
= x +1 - 1 =
= x.
Abbiamo ottenuto la funzione identità.
Ora troviamo la funzione
f-1 o f = [4x-1+1] /4 =
= 4x/4 =
x.
Anche in questo caso abbiamo ottenuto la funzione identità.
Nella lezione dedicata alle funzioni composte abbiamo detto che in genere,
g o f ≠ f o g.
In altre parole, normalmente, la composizione di funzioni non gode della proprietà commutativa. Quella che abbiamo appena visto rappresenta l'unica eccezione.
