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FASCIO di RETTE PASSANTI per un PUNTO: alcune considerazioni

 

Per approfondire  

 

Sappiamo che l'equazione del FASCIO di RETTE PASSANTI per un PUNTO  

P0 (x0 ; y0)

 

è data da

y - y0 = m (x - x0).

 

Abbiamo anche visto, in un precedente approfondimento, che tale formula può essere scritta anche nel modo seguente

a (x - x0)  + b (y  - y0) = 0.

 

Ora vogliamo chiederci: "Le due formule sono perfettamente identiche?".

Non del tutto.

Cerchiamo di capirne il perché.

Abbiamo visto che, per giungere dall'equazione

a (x - x0)  + b (y  - y0) = 0

all'equazione

y - y0 = m (x - x0)

 

abbiamo diviso tutti i membri della prima equazione per b. Per fare ciò, però, abbiamo dovuto porre come condizione che b sia diverso da zero, onde evitare che essa perdesse di significato.

Ciò equivale a dire, però, che nella seconda equazione noi abbiamo escluso l'ipotesi in cui

b = 0.

Ma noi sappiamo che, nell'equazione della retta, b è uguale a zero, quando la retta è parallela all'asse delle ascisse.

Quindi, quando noi scriviamo la seconda formula stiamo escludendo la retta passante per il punto P0 parallela all'asse delle y.

 

Quindi, ricapitolando, quando scriviamo l'EQUAZIONE del FASCIO DI RETTE PASSANTE per P0

  • nel modo

a (x - x0)  + b (y  - y0) = 0

stiamo comprendendo TUTTE LE RETTE passanti per quel punto;

 

 

  • mentre quando la scriviamo nel modo

y - y0 = m (x  - x0) 

stiamo escludendo la RETTA PARALLELA ALL'ASSE DELLE y passante per quel punto;

 

 

Esempio:

scrivere l'equazione della retta passante per P(1; -2).

 

L'equazione che comprende tutte le rette, anche quella parallela all'asse delle y, è

a (x - 1)  + b (y  + 2) = 0

 

in altre parole questa equazione comprende anche l'equazione: 

x = 1.

 

Invece, l'equazione

y + 2 = m (x  - 1) 

non comprende l'equazione: 

x = 1.

 

 

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