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PUNTI in COMUNE a DUE CIRCONFERENZE 

 



Per comprendere  

 

Dallo studio della circonferenza sappiamo che DUE CIRCONFERENZE possono essere tra loro:

 

Riportiamo, nella tabella sottostante, come si presentano graficamente i vari casi:

CIRCONFERENZE una ESTERNA all'altra

Circonferenze una esterna all'altra

 

CIRCONFERENZE una INTERNA all'altra

Circonferenze una interna all'altra

 

CIRCONFERENZE  SECANTI

Circonferenze secanti

 

 

CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNE

Circonferenze tangenti interne

 

CIRCONFERENZA TANGENTI ESTERNE

Circonferenze tangenti esterne

 

CIRCONFERENZE  CONCENTRICHE 

 Circonferenze concentriche

 

 

Quindi possiamo dire che, date DUE CIRCONFERENZE, esse hanno dei PUNTI in COMUNE solamente se sono:

  • SECANTI. In questo caso hanno DUE PUNTI in COMUNE;

  • TANGENTI, sia INTERNE che ESTERNE. In questo caso hanno UN solo PUNTO in COMUNE.

 

Ora, se ci vengono date le equazioni di due circonferenze e vogliamo trovare, se vi sono, i loro punti in comune dobbiamo mettere a SISTEMA le equazioni delle due circonferenze. I valori che soddisfano entrambe le equazioni rappresentano i punti in comune.

 

Indichiamo l'equazione della prima circonferenza con:

x2 + y2 + a1x + b1y + c1 = 0

 

e l'equazione della seconda circonferenza con:

x2 + y2 + a2x + b2y + c2 = 0.

 

Mettiamo a sistema le due equazioni

Punti in comune a due circonferenze

 

Questo sistema è però di 4° grado e dunque di difficile soluzione.

Se le due circonferenze non sono concentriche, applichiamo il metodo di riduzione per la risoluzione del sistema: metodo che si basa sul principio di riduzione di un sistema. Il metodo consiste nel sostituire ad una equazione del sistema, l'equazione che si ottiene sottraendo (o sommando) membro a membro tutte le equazioni del sistema.

Ovviamente, poiché siamo in grado di trovare il centro delle due circonferenze, conoscendo la loro equazione, siamo in grado di sapere se esse sono concentriche e se sono concentriche siamo sicuri che esse non hanno nessun punto in comune.

Noi scegliamo la sottrazione in modo da semplificare il sistema.

Quindi SOTTRAENDO MEMBRO A MEMBRO avremo:

Punti in comune a due circonferenze

 

Se le due circonferenze fossero concentriche, sarebbero uguali anche i valori di a e di b e sottraendoli membro a membro i termini (a1 - a2)x e (b1 - b2)y si annullerebbero: per questo il metodo non è applicabile. e 

A questo punto abbiamo ottenuto una equazione di primo grado.

 

Scriviamo, allora, un SISTEMA con:

  • una delle due equazioni della circonferenza (noi abbiamo scelto la prima, come potete vedere sotto, ma si poteva scegliere anche la seconda);

  • l'equazione di primo grado appena ottenuta.

Punti in comune a due circonferenze

 

Risolviamo il sistema e otterremo i punti in comune alle due circonferenze. In particolare avremo:

  • il SISTEMA NON ammette SOLUZIONI. Ciò si verifica quando le due circonferenze sono:

  • una ESTERNA all'altra;

  • una INTERNA all'altra;

 

  • il SISTEMA ammette UNA sola SOLUZIONE. Ciò si verifica quando le due circonferenze sono:

    • TANGENTI INTERNE;

    • TANGENTI ESTERNE;

     

  • il SISTEMA ammette DUE SOLUZIONI. Ciò si verifica quando le due circonferenze sono SECANTI.

 

Esempio:

date le circonferenze di equazione x2 + y2 - 12x - 4y + 31 = 0 e x2 + y2 -12x +6y + 41  = 0 dire se esse hanno dei punti in comune e se si quali sono le loro coordinate.

Innanzitutto possiamo dire che le due circonferenze sicuramente non sono concentriche (infatti a1 è uguale ad a2, ma b1 e b2 sono diversi).

Mettiamo a sistema le due equazioni

Punti in comune a due circonferenze

 

Sottraiamo, membro a membro, alla prima equazione la seconda equazione:

Punti in comune a due circonferenze

 

Mettiamo a sistema l'equazione appena trovata con la prima:

Punti in comune a due circonferenze

 

Ricaviamo dalla seconda il valore della y. E avremo:

-10y - 10 = 0

10y + 10 = 0

10y = -10

y= -1.

 

Sostituiamo il valore ottenuto della y nella prima equazione:

x2 + y2 - 12x - 4y + 31 = 0

x2 + 1 - 12x + 4 + 31 = 0.

 

Ricaviamo il valore della x:

x2 + 1 - 12x + 4 + 31 = 0

x2 - 12x + 36 = 0

Punti in comune a due circonferenze

 

Quindi abbiamo una sola soluzione, il che vuol dire che le due circonferenze sono tangenti. Il punto di tangenza è dato da:

P (6 ; -1).

 

 

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