DISEQUAZIONI CON SOMMA DI DUE MODULI A PRIMO MEMBRO ED UN NUMERO NEGATIVO A SECONDO MEMBRO
In una delle lezioni dedicate alle disequazioni con valore assoluto abbiamo visto come risolvere disequazioni del tipo:
|A(x)| + |B(x)| ≥ k
oppure
|A(x)| + |B(x)| ≤ k.
Il metodo suggerito è quello che usiamo nella stragrande maggioranza dei casi, ovvero si studia il segno delle espressioni presenti nei moduli, si riportano i risultati su un grafico, si risolvono tanti sistemi quanti sono gli intervalli nei quali è diviso il grafico e, infine, si fa l'unione insiemistica dei risultati ottenuti.
Va detto, però, che quando
k < 0
potremmo risolvere questo tipo di disequazioni anche in modo più rapido.
Facciamo attenzione, però, perché quello che diremo si applica SOLAMENTE:
- se a primo membro abbiamo la SOMMA di due valori assoluti, mentre non vale nel caso della differenza;
- se k è NEGATIVO, mentre non vale se k è positivo.
Andiamo ad esaminare le seguenti disequazioni:
|A(x)| + |B(x)| > k
|A(x)| + |B(x)| ≥ k
A(x)| + |B(x)| < k
|A(x)| + |B(x)| ≤ k.
Cominciamo dal primo caso.
|A(x)| + |B(x)| > k.
A primo membro abbiamo la somma di due valori assoluti, in altre parole abbiamo la somma di due valori positivi: essa sarà sempre positiva e quindi maggiore di un numero negativo. Anche nel caso in cui A(x) dovesse essere uguale a zero ed anche B(x) dovesse essere uguale a zero, avremmo a primo membro lo zero, che è maggiore di un numero negativo.
Quindi, la nostra soluzione, sarà data da
che si legge
qualunque x appartenente ai reali.
Esempio:
|2x| + |8x| > -20.
A primo membro abbiamo la somma di due moduli, quindi un valore positivo. A secondo membro un numero negativo. Dobbiamo cercare i valori che rendono il primo membro maggiore del secondo membro. E' evidente che è la disequazione è sempre verificata.
Anche nel caso in cui la disequazione si presenta nella forma
|A(x)| + |B(x)| ≥ k
essa è sempre verificata, infatti la somma di due numeri positivi è sempre positiva. Anche nel caso in cui sia A(x) che B(x) dovessero essere uguali a zero, avremmo a primo membro lo zero, che è maggiore di un numero negativo.
Quindi, anche in questo caso la soluzione è
Passiamo al caso in cui
|A(x)| + |B(x)| < k.
A primo membro abbiamo la somma di due valori assoluti, in altre parole abbiamo la somma di due valori positivi, che non potrà mai essere minore di un numero negativo. Anche nel caso in cui A(x) dovesse essere uguale a zero ed anche B(x) dovesse essere uguale a zero, avremmo a primo membro lo zero, che non è minore di un numero negativo. Quindi la disequazione NON AMMETTE SOLUZIONI.
Esempio:
|3x+2| + |5x| < -2.
A primo membro abbiamo la somma di due moduli. A secondo membro abbiamo un numero negativo. E' impossibile trovare un valore di x che renda il primo membro minore del secondo membro: quindi la disequazione non ammette soluzioni.
La stessa cosa possiamo dire nel caso in cui
|A(x)| + |B(x)| ≤ k.
Anche se A(x) e B(x) fossero entrambi uguali a zero il primo membro sarebbe zero che non è un valore minore di un numero negativo, né uguale. Quindi, anche in questo caso, la disequazione NON AMMETTE SOLUZIONI.
