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DISEQUAZIONI con DUE MODULI

 

 



Per comprendere  

 

Continuiamo a vedere come applicare la regola esposta nella lezione 5, e andiamo ad occuparci delle disequazioni nelle quali sono presenti due moduli, del tipo

|A(x)| |B(x)|

oppure

|A(x)| ≤ |B(x)|.

 

 

Esempio:

|2x - 3| |3x - 4|.

 

Come abbiamo visto nelle lezioni precedenti, la prima cosa da fare è STUDIARE il SEGNO di ogni espressione presente all'interno dei vari moduli. Quindi poniamo:

2x - 3 ≥ 0

e

3x - 4 ≥ 0.

 

Da cui avremo

2x - 3 ≥ 0

2x ≥ 3

x ≥ 3/2

e

3x - 4 ≥ 0

3x ≥ 4

x ≥ 4/3.

 

 

RIPORTIAMO i RISULTATI ottenuti sul solito GRAFICO:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

Nel grafico risultano individuati tre intervalli. Quindi scriviamo un sistema per ogni intervallo.

Quando 

x < 4/3

entrambe le espressioni sono negative. Quindi:

- (2x - 3 ) - (3x - 4).

Il primo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

 

Quando 

  4/3 ≤ x < 3/2

l'espressione 2x - 3 è negativa, mentre l'espressione 3x - 4 è positiva o nulla. Quindi la nostra disequazione diventa:

- (2x - 3 ) ≤  3x - 4.

Il secondo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

 

Infine, quando 

  x ≥ 3/2

entrambe le espressioni sono positive o nulle, di conseguenza la disequazione diventa:

2x - 3 ≤  3x - 4.

Il terzo sistema da risolvere, quindi, è:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

 

Andiamo, ora, a risolvere i sistemi impostati. 

Primo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

La soluzione del primo sistema è data dalle 

x ≤ 1.

 

 

Secondo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

La soluzione del secondo sistema è data dalle 

7/5 ≤ x < 3/2.

 

 

 

Terzo sistema:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

La soluzione del terzo sistema è 

 x ≥ 3/2 .

 

 

 

 

Facciamo l'UNIONE INSIEMISTICA dei risultati ottenuti, ovvero

x ≤ 1  ˅  7/5 ≤ x < 3/2  ˅  x ≥ 3/2.

 

Se riportiamo questi tre intervalli su un grafico 

x ≤ 1  ˅  7/5 ≤ x < 3/2  ˅  x ≥ 3/2.

 

Risolvere disequazioni con valore assoluto

 

notiamo che, chiaramente, possiamo scrivere la soluzione nel modo che segue:

x ≤ 1  ˅  x ≥ 7/5.

 

 

In alcuni casi particolari si potrebbe procedere a risolvere questo tipo di disequazioni in modo diverso, senza ricorrere allo studio dei segni delle espressioni presenti nei vari moduli. A questo argomento dedichiamo uno specifico approfondimento.

   Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti sulle disequazioni con valore assoluto

 

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