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AREA di un POLIGONO CIRCOSCRITTO

 

Per comprendere  

 

Disegniamo un POLIGONO i cui LATI siano TUTTI TANGENTI ad una CIRCONFERENZA di centro O e di raggio r:

Poligono circoscritto ad un cerchio

Come sappiamo questo POLIGONO si dice CIRCOSCRITTO alla circonferenza.

Ora congiungiamo i vertici del poligono con il centro del cerchio O: abbiamo così scomposto il poligono in  5 TRIANGOLI  

Abbiamo chiamato tali triangoli, rispettivamente, T1, T2, T3, T4, T5:

Poligono circoscritto ad un cerchio

 

I 5 triangoli da noi disegnati hanno come basi, rispettivamente, i lati a, b, c, d, e. L'altezza di ogni triangolo è il raggio del cerchio r.

I 5 triangoli sono equivalenti ad un triangolo avente per base la somma delle basi e per altezza il raggio r. Inoltre, poiché ogni triangolo ha per base un lato del poligono, la somma delle basi non è altro che il perimetro del poligono.

 

Possiamo allora dire che un POLIGONO CIRCOSCRITTO ad un CERCHIO è EQUIVALENTE ad un TRIANGOLO avente:

  • per BASE il PERIMETRO del poligono;

  • per ALTEZZA il RAGGIO del cerchio.

 

Noi sappiamo che l'area del triangolo è uguale a:

A = (b x h)/2

dove

A = area 

b = base

h = altezza.

 

Poiché nel nostro caso la base è uguale al perimetro e l'altezza è uguale al raggio del cerchio, possiamo dire che l'AREA del POLIGONO CIRCOSCRITTO è data da:

A = (P x r)/ 2

dove

A = area 

P = perimetro del poligono

r = raggio del cerchio.

 

Da questa formula possiamo ricavare anche le formule inverse:

r = (A x 2)/ P 

P = (A x 2)/ r. 

 

Esempio 1:

Un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza avente il raggio lungo cm 4, ha il perimetro di cm 40. Calcolare la sua area.

Per risolvere il problema è sufficiente applicare la formula relativa al calcolo dell'area:

A = (P x r)/ 2 = (40 x 4)/ 2 = 160/ 2 = 80 cm2.

 

 

Esempio 2:

Un poligono circoscritto ad una circonferenza ha l'area di cm2 120. Sapendo che il raggio della circonferenza misura cm 8, determinare il perimetro del poligono.

Applichiamo la formula inversa e abbiamo:

P = (A x 2)/ r = (120 x 2)/ 8 = 30 cm. 

 

 

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