INSIEME DELLE PARTI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Supponiamo di avere il seguente INSIEME:

A = {2, 4, 6}.



Vediamo ora quali sono i suoi possibili SOTTOINSIEMI:

{2}

{4}

{6}

{2, 4}

{2, 6}

{4, 6}.



Parlando di SOTTOINSIEMI PROPRI ed IMPROPRI abbiamo appreso che dato un insieme A esso ammette sempre DUE SOTTOINSIEMI:

  1. A STESSO;
  2. l'INSIEME VUOTO { }.

Quindi, aggiungendo anche A e l'insieme vuoto, tutti i sottoinsiemi del nostro insieme A saranno:

{}

{2}

{4}

{6}

{2, 4}

{2, 6}

{4, 6}

{2, 4, 6}.



Ora scriviamo l'insieme formato da questi sottoinsiemi. Per rendere più chiara la cosa abbiamo scritto in verde i sottoinsiemi dell'insieme A e in blu l'insieme formato da tali sottoinsiemi. Avremo:

{ {}, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6} }.



L'insieme che abbiamo appena scritto si dice INSIEME DELLE PARTI DI A.

Quindi, l'INSIEME DELLE PARTI DI A è l'insieme i cui ELEMENTI sono tutti i SOTTOINSIEMI di A, compreso l'INSIEME VUOTO e A STESSO.



L' INSIEME DELLE PARTI DI A viene indicato con il simbolo

insieme delle parti di A

oppure

2A

che si legge

insieme delle parti di A

oppure

insieme potenza di A

o ancora

booleano di A.



L'INSIEME DELLE PARTI DI A sarà FINITO o INFINITO a seconda che A sia un INSIEME FINITO o un INSIEME INFINITO.



Indichiamo con n il numero degli elementi di cui è formato l'insieme A. n rappresenta la CARDINALITA' di A e si scrive

Car(A) = n.



Supponiamo che A sia l'INSIEME VUOTO. Cioè n = 0. Avremo:

A = { }.



Gli unici SOTTOINSIEMI di A sono

  • l'insieme vuoto - { }
  • A stesso, cioè { }.

poiché l'insieme vuoto è uguale ad A,

l'unico SOTTOINSIEME di A è

{ }.



Quindi l'INSIEME DELLE PARTI DI A sarà

{ {} }.



Quindi

insieme delle parti di Aè formato da un solo elemento.

Allora possiamo dire che la CARDINALITA' dell'INSIEME DELLE PARTI di A è 1.



Immaginiamo ora che A sia un insieme formato da un SOLO ELEMENTO, cioè n = 1. Ovvero:

A = {a}.



I SOTTOINSIEMI di A sono

{ } - insieme vuoto

{a}

{a} - A stesso.

poiché {a} = {a},



l'INSIEME DELLE PARTI DI A sarà

{ {}, {a} }.

Quindi

insieme delle parti di A è formato da due elementi.

Allora possiamo dire che la CARDINALITA' dell'INSIEME DELLE PARTI di A è 2.



Supponiamo ora che A sia un insieme formato da un DUE ELEMENTI, cioè n = 2. Ovvero:

A = {a, b}.



I SOTTOINSIEMI di A sono

{ }

{a}

{b}

{a, b}.

L'INSIEME DELLE PARTI DI A sarà

{ {}, {a}, {b}, {a, b} }.

Quindi

insieme delle parti di A è formato da quattro elementi.

Allora possiamo dire che la CARDINALITA' dell'INSIEME DELLE PARTI di A è 4.



Abbiamo visto in precedenza che, se A è formato da 3 elementi, l'insieme delle parti di A è formato da 8 elementi.



Ricapitoliamo quanto abbiamo detto:

n ELEMENTI DI A n ELEMENTI DELL'INSIEME DELLE PARTI DI A
0 1
1 2
2 4
3 8


Generalizzando possiamo dire che, se l'insieme A ha un numero FINITO di ELEMENTI n, l'INSIEME DELLE PARTI di A è pure esso FINITO e avrà un numero di elementi pari a 2n.

Infatti:

n ELEMENTI DI A n ELEMENTI DELL'INSIEME DELLE PARTI DI A 2n
0 1 20 = 1
1 2 21 = 2
2 4 22 = 4
3 8 23 = 8


 
 
 
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